و
(۴-۲۲)
و
(۴-۲۳)
آنگاه بهره کنترل کننده استاتیکی از رابطه زیر بدست می آید:
(۴-۲۴)
-
- اثبات
تئوری۱ از ]۱۴[ بیان میدارد که نقطه تعادل سیستم فازی پیوسته با زمان توصیف شده با (۴-۶) بطور سراسری پایدار مجانبی[۴۶] است چنانچه وجود داشته باشد بطوریکه شروط زیر برقرار باشند:
(۴-۲۵)
که در آن:
اکنون با بهره گرفتن از متمم Schur و نتایج بالا نامعادلات ماتریسی (۴-۱۴) را میتوان بصورت زیر نوشت:
(۴-۲۶)
و
(۴-۲۷)
و
(۴-۲۸)
اکنون چنانچه نامعادله ماتریسی (۴-۲۶) را در نظر بگیریم باید به نحوی آنرا به نامعادله ماتریسی (۴-۱۹) تبدیل نماییم. برای این منظور ما ماتریس را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(۴-۲۹)
سپس ترم های مختلف موجود در ماتریس را در آن جای گذاری مینماییم. حاصل بصورت ماتریس زیر خواهد بود:
(۴-۳۰)
اکنون با بهره گرفتن از نتایج فصل ۳ یعنی جایگذاری با و با در ماتریس فوق و ساده سازی ، نامعادله ماتریسی(۴-۱۹) حاصل خواهد شد.
با روندی مشابه میتوان نامعادلات ماتریسی (۴-۲۶) و (۴-۲۷) را به ترتیب به نامعادلات (۴-۲۰) و (۴-۲۱) تبدیل نمود.
از آنجاییکه روابط (۴-۱۹) تا (۴-۲۳) بصورت نامعادلات و معادلات ماتریسی خطی به ازای یک مقدار معین از میباشند، بنابراین مسئله وجود یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی T-S به فرم (۴-۲) به امکان پذیر بودن روابط (۴-۱۹) تا (۴-۲۳) کاهش می یابد. پاسخ مسئله امکان پذیری LMI ها و LME نیز به سادگی توسط نرم افزار های نظیر MATLAB بدست می آید. از آنجاییکه هدف یافتن حداقل میباشد به این صورت عمل میکنیم که یک مقدار اولیه برای تعیین مینماییم، اگر به ازای آن مقدار روابط مورد نظر امکان پذیر بودند اقدام به کاهش مقدار مینماییم، به عنوان مثال مقدار آن را به نصف کاهش میدهیم و این کار را تا جایی انجام میدهیم که روابط پس از آن امکان پذیر نباشند، و به این ترتیب مقدار کمینه را خواهیم یافت. علاوه بر آن مزیت روش ارائه شده تک مرحله ای بودن آن میباشد.
اکنون با پرداختن به یک سیستم مثالی کارآمدی روش ارائه شده را به نمایش میگذاریم:
-
- مثال ۴-۱
سیستم غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:
فرض بر اینست که . سیستم غیرخطی فوق را میتوان توسط مدل فازی T-S زیر به نمایش در آورد:
-
- قانون شماره ۱: اگر در حدود باشد، آنگاه:
که در آن:
-
- قانون شماره ۲: اگر در حدود یا باشد، آنگاه:
که در آن:
باید به این مورد توجه شود که در دو مدل بالا، هر دو ماتریس ناپایدار میباشند. اکنون برای مقادیر مدل مرجع (۴-۳)، ما مقادیر و را انتخاب مینماییم. برای ورودی مرجع کران دار یعنی فرض میکنیم . برای ماتریس وزن دهی در (۴-۴) فرض میکنیم . با فرض شرایط اولیه صفر برای سیستم غیرخطی فوق نتایج زیر حاصل میگردد:
با توجه به مقادیر فوق بهره های کنترل کننده استاتیکی بصورت زیر خواهند بود:
