برخی از روش های ضمنی^[۶۵] به طور مشروط پایدار هستند ولی آنهایی که بیشترین کاربرد را دارند پایدار نامشروط می باشند. در این روشها حتی مقادیر بسیار زیاد Δt نیز محاسبات را خراب نمی کنند(منظور از خراب شدن در واقع عدم همگرایی پاسخ می باشد). بلکه ممکن است تنها دقت را کاهش دهند. روش های ضمنی پایدار مشروط عملا به ندرت به کار می روند و این به دلیل قیدهای شدیدی است که بر روی Δt اعمال می شوند و همچنین به دلیل صرف زمان زیاد برای حل مسائل دو و سه بعدی.

در روش های پایدار نامشروط توجه زیادی به روش نیومارک می شود که این روش، روش های شتاب ثابت یا میانگین را نیز در بر میگیرد که در مسائل خطی به طور نامشروط پایدار بوده و معمول ترین روش از روش های ضمنی می باشد.
روش ارائه شده در اینجا به عنوان موارد خاصی از روش نیومارک محسوب می شوند که شامل فاکتورهای γ و β می باشند که خصوصیات الگوریتم را همچون دقت، پایداری عددی و میزان میرایی الگوریتم را کنترل می کنند. روابط نیومارک به شکل زیر می باشند:
(۴-۱۷)
به ترتیب روش های شتاب میانگین و شتاب خطی با پارامترهای و , بدست می آیند. با حل معادله ۴-۱۷ برای ، معادله زیر بدست می آید.
(۴-۱۸)
این معادلات را در معادلات حرکت جایگزین می کنیم و داریم:
(۴-۱۹)
که داریم:
(۴-۲۰)
توجه شود که نمی تواند یک ماتریس قطری باشد، زیرا شامل ماتریس [K] می باشد. می دانیم که یک ماتریس جرم قطری محاسبات کمتری را نیاز دارد. درواقع روش ضمنی معمولا زمانی دقیقتر است که ماتریس جرم پیوسته^[۶۶] باشد. اگر ماتریس جرم معین مثبت باشد، آنگاه ماتریس ، غیر صفر^[۶۷] می باشد حتی اگر تکیه گاه نداشته باشد یا دارای یک مکانیسم باشد.
اگر پارامتر غیر خطی در مساله وجود نداشته باشد و فواصل زمانی Δtدر حین تحلیل تغییر نکند، می تواند محاسبه شده و برای مابقی حل معادله از ابتدا فاکتور گرفته شود و بنابراین نیازی به به روز شدن یا فاکتور گیری دوباره ندارد. برای آغاز محاسبه ما به نیاز داریم که می تواند از معادله زیر بدست آید:
(۴-۲۱)
معادله (۴-۱۹) برای حل می شود درست مثل حل کردن یک سری از معادلات استاتیک با بردار نیرو و البته ماتریس سختی شناخته شده. و معادلات (۴-۱۸) برای بدست آوردن و به کار گرفته شد. در مرحله بعدی معادله (۴-۱۹) برای حل می شود و به همین ترتیب.
روش α که توسط هوگز، هیلبر و تیلر^[۶۸] ارائه شده است را می توان بعنوان یک حالت کلی از روش های نیومارک قلمداد کرد. این روش بر اساس روابط اختلاف نیومارک^[۶۹] ، (۴-۱۷) می باشد، و معادله تغییر یافته حرکت به شکل زیر می باشد:
(۴-۲۲)
که همان بردار می باشد که در زمان محاسبه شده است. اگر بارها در یک مرحله زمانی به طور خطی تغییر کنند، خواهیم داشت:
(۴-۲۳)
اگر باشد، معادله (۴-۲۲) به معادله روش نیومارک تبدیل خواهد شد. اگر α<0 باشد میرایی الگوریتمی رخ خواهد داد. میرایی الگوریتمی می تواند در روش های نیومارک وجود داشته باشد ولی در این حالت تنها دقت از مرتبه اول را می توان تضمین کرد. بنابراین، مرتبه خطا در جابجاییهای محاسبه شده ممکن است از مرتبه به کاهش می یابد. روش α اجازه میرایی الگوریتمی را می دهد و با این حال دقت مرتبه دوم باقی خواهد ماند.
علاوه بر محاسبه جابجاییهای کلی، در معادلات (۴-۱۹) و (۴-۲۰) فرمولهای انتگرال ضمنی را می توان به گونه ای بیان کرد که افزایش جابجایی را محاسبه کرد. فرمهای افزایشی می توانند برای مسائل غیر خطی که در آنها از یک مرحله زمانی تا مرحله زمانی بعدی تغییر می کند موثر باشد.
مسائل دینامیکی غیر خطی
اگر فرکانس تحریک بیشتر از یک چهارم کمترین فرکانس طبیعی ارتعاش باشد، اینرسی مساله مهمی در تحلیل خواهد بود و مساله را می بایست دینامیک در نظر گرفت تا شبه استاتیک. روش های انتگرال صریح^[۷۰] و ضمنی در مسائل غیر خطی هم قابل استفاده می باشند. روش های صریح نسبت به روش های ضمنی سازگاری بیشتری با مسائل غیر خطی دارد. روش های صریح به محاسبات کمتری در یک مرحله زمانی نیاز دارد ولی نیازمند مراحل زمانی کوچکتری می باشند زیرا این روشها مشروط پایدار هستند و برای بارهای با زمان های تحت اثر کوتاهی همچون ضربه مناسب می باشند. روش های ضمنی نیازمند محاسبات بیشتری در هر مرحله زمانی می باشند ولی می توانند از مراحل زمانی بسیار بزرگتری استفاده کنند و بنابراین برای باهای با اثر طولانی مدتی همچون بررسی زلزله به کار روند. روشهایی که به طور نامشروط پایدار هستند زمانیکه برای مسائل خطی به کار گرفته می شوند لزوما به همان شکل در مسائل غیر خطی معتبر نخواهند بود.
روش (ضمنی) تانژانت – سختی: مزیت یک روش ضمنی نسبت به یک روش صریح مراحل زمانی بزرگ می باشد. توجه شود که با این حال پایداری نامشروط در یک مساله خطی پایداری نامشروط را در یک مساله غیر خطی تضمین نمی کند. غیر خطی، مشکلات یکسانی را برای هر دو الگوریتم حل دینامیک ضمنی و استاتیک بوجود می آورد: سختی تابعی از جابجایی است، که از قبل مشخص نیست.
یک تخمین مرتبه اول که از ماتریس سختی تانژانت استفاده می کند به شکل زیر است:
(۴-۲۴)
که داریم:
(۴-۲۵)
بنابراین در زمان معادله حرکت به شکل زیر در می آید:
(۴-۲۶)
شتاب و سرعت در زمان از معادلات (۴-۱۸) محاسبه شده و در معادلات (۴-۲۶) قرار داده می شوند و نیز داریم . بنابراین :
(۴-۲۷)
به خاطر تغییرات ، هر محاسبه جدید از طبق معادله (۴-۲۷) نیازمند فاکتور گیری از ماتریس ضرایب می باشد.
سپس به طور موقت درجه آزادی را به شکل به روز می کنیم و از معادلات (۴-۱۸) ، و را بدست آورده و قبل از قبول درجات آزادی به روز شده از اندازه گیری خطای زیر استفاده می کنیم.
با بهره گرفتن از درجات آزادی موقت، تنشها می توانند به روز شوند و برای محاسبه به کار روند. در زمان داریم:
(۴-۲۸)
خطای انرژی می تواند به شکل زیر محاسبه شود:
(۴-۲۹)
که البته باید برای n>1 به کار رود. اگر خطا از محدوده مشخص بیشتر باشد، به در معادله (۴-۲۷) اضافه می شود و محاسبه تکرار می شود و این روند تا کسب خطای مطلوب ادامه می یابد. بنابراین در هر مرحله زمانی ما از تکرار استفاده می کنیم تا به جواب مطلوب دست پیدا کنیم.
فصل پنجم
بررسی نتایج حاصل از تحلیل خمش ورق حافظه­دار
مقایسه نتایج با تحقیقات پیشین
در این قسمت به مقایسه پاسخ ورق ایزوتروپیک و نیز کامپوزیتی چند لایه مدلسازی عددی کنونی با نتایج تحقیقات پیشین پرداخته می شود. بدین منظور خصوصیات مواد مورد استفاده در زیر آورده شده است.
مثال حل شده توسط Reddy ]38[، ورق کامپوزیتی چند لایه Cross-ply متقارن با چیدمان (۰/۹۰/۹۰/۰) با خواص زیر تحت بار فشاری یکنواخت:
E₁=98*10⁶, E₂=87*10⁶,
G₁₂= G₁₃= G₂₃=23*10⁶, ν_۱۲=۰. ۳۹۵
A=30 in. h= 12 in. q=1.2 psi
مثال حل شده توسط قنادپور ]۷۱[ ، دو ورق آیزوتروپیک تحت بار فشاری یکنواخت، در واقع قنادپور ورق FGM را مورد تحلیل قرار داده است که این ورق در دو حالت n=0 و n=infinite رفتار و خواص آیزوتروپیک را داراست. بنابراین می توان نتایج را آیزوتروپیک در نظر گرفت.
E_T=380 GPa, E_B=70 GPa,
ν=۰.۳, A=200 mm, h=10 mm,
Q=400 , n=0, n=infinite
Q بار بی بعد شده می باشد. روابط بی بعد سازی در زیر آورده شده است،