شکل ۲-۶٫ نمای کلی از پراکندگی رادرفورد
تئوری پراکندگی در سال ۱۹۴۷ منتشر شد. به جز در موارد نادر، انحراف یک پروتون توسط یک هستۀ اتمی خیلی کوچک است؛ بنابراین پهنای زاویه‌ای مشاهده شده برای پرتو پروتونی که از ورقه‌ای از ماده عبور می‌کند، عمدتاً به‌علت ترکیب تصادفی از انحرافات زیادی است که رخ می‌دهد. به دلیل این موضوع و برهم‌کنش‌های الکترومغناطیسی، پراکندگی به‌صورت پراکندگی کولنی چندگانه ( MCS )[95] شناخته می‌شود. تئوری MCS به طور دقیق پهنای گاوسی را پیش‌بینی می‌کند؛ زیرا برای اکثر هدف‌های پرتودرمانی تنها همین بخش گاوسی پرتو درنظرگرفته می‌شود که حاوی ۹۸% از پروتون‌ها می‌باشد [۴]. زوایای مربوط به چنین پراکندگی برای پروتون کوچک هستند. موادی با عدد اتمی بالا خیلی بیشتر نسبت به موادی مانند آب، پروتون‌ها را پراکنده می‌کنند و این یعنی روندی مخالف توان توقف، در فرایند پراکندگی وجود دارد. این موضوع را می‌توان در شکل ۲-۷ به‌خوبی مشاهده کرد [۳۹]. در این شکل، زاویۀ پراکندگی چندگانه و میزان انرژی از دست رفته برای پروتون‌های MeV 160 که از g/cm2 ۱ مواد مختلف عبور می‌کنند، دیده می‌شوند.
شکل ۲-۷٫ نمایش زاویۀ پراکندگی و میزان انرژی از دست رفته برای پروتون‌های MeV160 در مواد مختلف [۳۹]
۲-۲-۲-۱- اندازه‌گیری تجربی زاویۀ پراکندگی
شکل ۲-۸ پرتو پروتونی را نشان می‌دهد که وارد هدف شده و پس از خارج شدن از آن توزیع زاویه‌ای تقریباً گاوسی با پهنای زاویه‌ای دارد. اگر این ذرات تا فاصلۀ L بدون هیچ پراکندگی اضافه‌ای حرکت داده شوند، توزیع شار، تقریباً گاوسی و با پهنای خواهد بود. از آنجایی‌که همۀ پروتون‌ها در پهنای ، انرژی و یا به عبارتی توان توقف تقریباً یکسانی دارند، دوز این ذرات طبق معادلۀ (۲‑۱۳) متناسب با شار آن‌ها خواهد بود [۴]. در این معادله، dN تعداد پروتون‌های عبورکننده از سطح مقطع dA با ضخامت dx می‌باشد.
(۲‑۱۳)
اگر بخواهیم را از اندازه‌گیری به‌صورت تجربی به‌دست آوریم، ضخامت هدفی که پروتون‌ها از آن خارج می‌شوند، اهمیت پیدا می‌کند؛ زیرا برای هدف‌های ضخیم لازم است بدانیم که پروتون‌ها از کدام بخش از هدف خارج می‌شوند و مقدار L دقیقاً چقدر است.
شکل ۲-۸٫ پراکندگی کولنی چندگانه برای پروتون ناشی از یک ورقۀ نازک
۲-۲-۲-۲- فرمول هایلند
چالشی که از دید تئوری برای پراکندگی کولنی چندگانه وجود دارد، شامل: ۱٫ پیش‌بینی شکل دقیق توزیع زاویه‌ای MCS و ۲٫ پیش‌بینی مشخصات پهنا به‌صورت تابعی از انرژی پروتون، ماده و ضخامت پراکننده می‌باشد. چندین تئوری در دهه های ۱۹۳۰ و ۱۹۴۰ مربوط به این پدیده ارائه شده‌اند. جامع‌ترین آن‌ها برای پرتوهای پروتون، تئوری مولی‌یر[۹۶] است [[۹۷]-[۹۸]]؛ البته طی مقاله‌ای توسط بته [[۹۹]]، این تئوری قدری بهبود یافت تا با سایر تئوری‌های مربوط به پراکندگی مطابقت پیدا کند. با این وجود دو جنبه از تئوری مولی‌یر که از دیدگاه پرتودرمانی با پروتون اهمیت دارد، حذف گردید؛ یکی از آن‌ها عمومیت دادن به پراکندگی از هدف‌هایی با ضخامت دلخواه و دیگری مواد ترکیبی می‌باشد. در اینجا فرمولی موسوم به فرمول هایلند[۱۰۰] که به اندازۀ کافی دقیق و بسیار ساده‌تر است، ارائه می‌گردد. در تقریب گاوسی همۀ آن چیزی که ما نیاز داریم، وابستگی به انرژی پروتون و مادۀ پراکنده‌کننده می‌باشد؛ بنابراین فرمول هایلند برای مطابق با معادلۀ (۲‑۱۴) است [[۱۰۱]]:
(۲‑۱۴)
در رابطۀ فوق، pv فاکتور سینماتیک، d ضخامت هدف و Lrad طول تابشی مربوط به مادۀ هدف است. این معادله برای هدف‌هایی که به اندازۀ کافی نازک باشند، به‌کارگرفته می‌شود؛ بنابراین pv خیلی از مقدار اولیه‌اش کاهش نمی‌یابد؛ البته این معادله می‌تواند برای هدف‌هایی با ضخامت دلخواه نیز تعمیم داده شود [[۱۰۲]]؛ بنابراین با درنظر گرفتن این ساده‌سازی، فرمول هایلند تعمیم‌یافته، جامع و دقیق است. شکل ۲-۹ نیز دقت این فرمول را نشان می‌دهد؛ در واقع این فرمول ساده، داده‌های تجربی در ناحیۀ گاوسی را با تئوری هماهنگ می کند [۴۵]. در این شکل، زاویۀ پراکندگی برای چهار عنصر سرب، مس، آلومینیوم و بریلیوم با بهره گرفتن از فرمول هایلند و به‌صورت تجربی محاسبه شده است و همان‌طور که می‌بینیم نتایج با دقت خوبی برهم منطبق هستند. ضخامت هدف تقسیم بر برد متناظر با انرژی پروتون فرودی می‌باشد.
شکل ۲-۹٫ بررسی دقت فرمول هایلند در مقایسه با اندازه‌گیری‌های تجربی برای زاویۀ پراکندگی پروتون [۴۵]
۲-۲-۲-۳- توان پراکندگی
برای محاسبۀ کل انرژی از دست رفتۀ یک پروتون در یک کاهش‌دهندۀ انرژی[۱۰۳]، لازم است تا توان توقف روی ضخامت کاهش‌دهنده جمع بسته شود. توان توقف یعنی S به سرعت پروتون و مشخصات مادۀ کاهش‌دهنده در عمق x از ماده وابسته می‌باشد. در قیاس با توان توقف، طبق معادلۀ (۲‑۱۵)، توان پراکندگی به‌صورت آهنگ افزایش اختلاف در زاویۀ MCS تعریف می‌شود [۴]:
(۲‑۱۵)
نکته‌ای که در اینجا مطرح می‌شود آن است که آیا می‌توان مشابه توان توقف، زاویۀ MCS را در عمق x از ماده‌ای همگن با ضخامت دلخواه جمع‌زنی کرد؛ به گونه‌ای که زاویۀ کل MCS در تقریب گاوسی نتیجۀ تئوری مولی‌یر را به دست دهد؟
در مسائل مربوط به ترابرد پروتون، برای به‌کار بردن همزمان اتلاف انرژی و پراکندگی کولنی چندگانه، لازم است که در هر از کاهش‌دهنده، تغییرات متناظر در انرژی و زاویۀ MCS با روش‌های تحلیلی و یا مونت‌کارلو محاسبه شود. به‌علاوه، بهتر است که نتایج حاصل از چنین محاسباتی، مستقل از اندازۀ باشد؛ از این‌رو باید T(x) مفید را به‌دست آورد. برای داشتن زاویۀ کل MCS در تقریب گاوسی و در ماده‌ای همگن با ضخامت دلخواه، به شکلی صحیح، از فرمول دیفرانسیلی مولی‌یر طبق معادلۀ (۲‑۱۶) استفاده می‌شود [[۱۰۴]]:
