تحلیل دینامیکی
مقدمه
برای حل معادله دیفرانسیل پاره‌ای ۲‑۳۴، ابتدا بایستی با کمک روش‌های مرسوم معادله دیفرانسیل پاره‌ای با مشتقات جزیی نسبت به متغیرهای زمان و مکان را، به معادله دیفرانسیل معمولی تنها وابسته زمان، تبدیل کرد. به همین منظور با فرض اینکه تابع دو متغیره جابجایی‌عرضی قابل جداشدن به دو تابع تک متغیره که یکی از بعد مکان و دیگری از بعد زمان است، حل مسئله حاضر آغاز میشود.
با توجه به نوع روش تحلیلی انتخاب مجموعه توابع مکانی مناسب از بعد مکان مسئله‌ای حائز اهمیت است. اولاً از مجموعه نامتناهی با اعضای مستقل باشند. و ثانیاً شرایط مرزی معادله حاضر را ارضا کنند(توابع سازگار و مقایسه‌ای) و چنانچه در معادله دیفرانسیل حاکم نیز صدق‌کنند از نوع توابع ویژه خواهند بود[۶۵].
تابع مکانی در روش باقیمانده‌های وزنی(مثلا روش گالرکین)، برخلاف روش معروف رایلی، چون مستقیماً در معادله حاکم جایگذاری می‌شوند، لازم است هر دو نوع شرط مرزی هندسی و طبیعی معلوم مسئله را ارضا کنند. پس استخراج چنین توابع مقایسه‌ای در مسئله پیشرو با شرایط مرزی غیرخطی، که وابسته به پارامترهای غیرموضعی و ولتاژ و متغییر زمان است، قدم اولیه و اصلی در شروع تحلیل دینامیکی است.
با حذف قسمت غیرهمگن و غیرخطی معادلات دیفرانسیلی پاره‌ای، و حل قسمت همگن با کمک تکنیک جداسازی متغیرها، مسئله مقدار ویژه‌ای استخراج میشود، که از حل آن مجموعه‌ای بی‌نهایت از مقادیر ویژه و توابع ویژه متناظر با آنها بدست می‌آید. توابع ویژه متعامد بوده و مجموعه کاملی را پدید می‌آورند، به طوری که می‌توان هر تابع مکانی که کلیه شرایط مرزی معادله همگن را ارضا می‌کند، به فرم ترکیب خطی از توابع ویژه نوشته شود.
لازم به ذکر است، مجموعه توابع مکانی یا همان توابع ویژه بدست آمده از حل ارتعاش آزاد مسئله، به عنوان مودشیپ یا همان تابع مقایسه‌ای در ادامه برای روش گالرکین استفاده خواهند شد.
استخراج معادله خطی و همگن برای ارتعاش آزاد
جابجایی عرضی تیر به خاطر نیروی الکترواستاتیک و واندروالس، ترکیبی از جابجایی استاتیک و جابجایی کوچک دینامیکی حول نقطه تعادل استاتیکی تیر است[۴۳].
| ۳‑۴ |
با چنین فرضی می‌توان بخش غیرهمگن معادله دیفرانسیل را به خاطر برقرار شدن معادله تعادل استاتیکی ۳‑۱ در دل مسأله ناپدید کرد:
| ۳‑۵ |
حذف معادلات تعادل استاتیک و در نظرگرفتن ترم‌های غیرخطی الکترواستاتیک و واندروالس تا مرتبه پنج و ترم‌های حاوی ضریب غیرموضعی تا مرتبه سه، به فرم زیر خواهد رسید:
| ۳‑۶ |
نکته: ضرایب ترم‌های خطی شامل در رابطه ۳‑۶ ، از نظر مقداری نسبت به سایر ضرایب جملات خطی بسیار کوچک‌تر هستند. اگر حل مسئله را با این شرایط ادامه یابد یکی از جفت ریشه‌های معادله مشخصه نهایی عددی مختلط خواهد شد. بطوریکه مقدار حقیقی آن نزدیک به صفر است(از مرتبه ۰٫۰۰۰۰۱). به همین منظور از جملات شامل ترم صرف‌نظر میشود.
درنهایت مسئله مقدار ویژه خطی و همگن تیر خمیده برای حل ارتعاش آزاد بدست می‌آید:
| ۳‑۷ |
ساده شده عبارت ۳‑۷ برای حل به صورت زیر خواهد شد:
