(۳-۶-۳)
در معادله فوق تانسور اینشتین برای متریک مرز است و رد تانسوری است که به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۶-۴)
بنابراین در گرانش گوس- بونه، کنش سطحی کل به صورت زیر خواهد بود:
(۳-۶-۵)
با در نظر گرفتن رابطه (۳-۶-۵) به همراه کنش گوس- بونه، در راه رسیدن به معادلات میدان گرانشی، تمامی جملات خوشرفتار میگردند.
۳-۷ بردارهای کیلینگ[۲۵] و تقارنهای فضازمان
با در نظر گرفتن یک متریک، در صورتی که بخواهیم کمیتهای پایای متناظر با آن را محاسبه کنیم، میبایست تقارنهای فضازمان را داشته باشیم. چراکه بر طبق قضیهی نواِدر[۲۶]، متناظر با هر تقارن پیوسته یک کمیت پایا وجود دارد. برای مطلع شدن از تقارنهای فضازمان باید بردارهای کیلینگ آن متریک را بدانیم.
با توجه به رابطه تبدیلات متریک در هر نقطه داریم:
(۳-۷-۱)
متریک را تحت تبدیل از نظر شکل هموردا[۲۷] گویند هرگاه تبدیل یافته دارای همان تابعیت از متغیرهایش باشد که متریک اولیه نسبت به متغیرهایش است، بهعبارت دیگر متریک جدید و قدیم باید یک تابعیت از مختصات جدید و قدیم داشته باشند، بهعنوان مثال اگر تحت دوران نسبت به یک محور ثابت بماند نیز باید تحت دوران نسبت به همان محور ثابت بماند. یعنی:
(۳-۷-۲)
به کمک روابط فوق میتوان به روابط زیر رسید:
(۳-۷-۳)
بهعبارت دیگر ایزومتریهای فضازمان را میتوان به کمک مبحث تبدیلات استخراج نمود. در حالت کلی کار کردن با روابط فوق پیچیده است؛ لذا برای سادگی از تبدیلات مختصات بینهایت کوچک[۲۸] زیر استفاده میکنیم:
(۳-۷-۴)
با اندکی محاسبه و کمک گرفتن از روابط تبدیلات متریک میتوان به رابطه زیر رسید [۲۵و۲۷]:
(۳-۷-۵)
در نظریه نسبیت عام چاربردار که رابطه (۲-۵-۷) را برآورده سازد، بردار کیلینگ نامیده می شود و همانطور که ذکر شد، متناظر با هر بردا کیلینگ یک کمیت پایا وجود دارد.
۳-۸ سیاهچاله چیست؟
به دلیل بزرگ بودن ستارهها و وجود جرم عظیم در ساختار آن‌ها، میدان جاذبهی گرانشی همواره در تلاش برای درهم فروریختن ستاره است. از طرفی همجوشیهائی که در مرکز ستارهها انجام میشوند با مقابله با میدان گرانشی عامل ایجاد ثبات در این میان است و ستاره را از نابودی حفظ می کند.
هنگامی که فشار داخلی یک جسم برای مقاومت در برابر نیروی گرانشی خود جسم کافی نباشد رمبش گرانشی[۲۹] رخ میدهد. بهعبارت دیگر زمانی که در یک ستاره به دلیل کم شدن فرایند همجوشی، تولید انرژی از طریق سنتزهای هستهای قادر به حفظ دما نباشد، حادثهی رمبش گرانشی رخ میدهد.
پس از رمبش گرانشی، بر اثر فشار تبهگنی شکافت هستهای (تبدیل هیدروژن به هلیوم یونیزه) متوقف میگردد و اجزای تشکیل دهنده ستاره فشردهتر می شود و ماده به مادهای که به اندازه قابل توجهی چگالتر است، تبدیل می شود. حاصل این رویداد یک نوع ستارهی فشرده است که نوع آن به جرم ماده باقی‌مانده بستگی دارد. اگر جرم آن ۳ الی ۴ برابر جرم خورشید باشد (حد تولمن[۳۰]- اوپنهایمر[۳۱]- وولکوف[۳۲]) حتی فشار تبهگنی نوترونها برای متوقف سازی فروپاشی کافی نخواهد بود. پس از این هیچ مکانیزم شناخته شدهای قدرت کافی برای متوقف سازی فروپاشی را ندارد و جسم در نهایت به ناگزیر به یک سیاهچاله تبدیل می شود.
به طور کلی، یک سیاهچاله ناحیهای از فضازمان است که از فروریزش گرانشی جرمهای سنگین به وجود خواهد آمد و در نهایت به یک تکینگی در فضازمان منجر می شود که به وسیله ابرسطح یکطرفهای که افق رویداد نامیده می شود از سایر قسمت های فضازمان جدا می شود ]۴۸[.
در حال حاضر گمان بر این است که تقریباً در مرکز تمام کهکشانها سیاهچالههای بسیار بزرگی وجود دارند که جرمی میلیونها و یا حتی میلیاردها برابر جرم خورشید دارند، همچنین گمان میرود که نمونههای بسیاری از سیاهچالههای کوچک در کهکشانها وجود دارند. تعداد اندکی از این سیاهچالهها در کهکشان ما نیز شناسایی شده اند.
۳-۹ خصوصیات هندسی سیاهچاله
در نسبیت عام، وجود گرانش نشانهی انحنای فضازمان است. اجسام پرجرم فضازمان را خمیدهتر می کنند بهطوریکه قوانین هندسهی تخت دیگر کارایی خود را از دست می دهند. در نزدیکی سیاهچاله این انحنای فضازمان بسیار شدید است و سبب می شود سیاهچاله ویژگیهای عجیب و جالب توجهی داشته باشد.
صفت سیاه در سیاهچاله به این دلیل است که نور راه یافته به افق رویداد را در خود به دام می اندازد و این به معنی نداشتن اطلاعاتی از درون سیاهچاله است. بر اساس نظریه نسبیت عام، در درون افق هر سیاهچاله یک تکینگی است. در رابطه با سیاهچالههای استاتیک تکینگی به طور حدی یک نقطهی بدون حجم در نظر گرفته می شود که تمام جرم در این نقطه متمرکز میگردد و بنابراین با وضعیت بینهایت شدن خمیدگی فضازمان و افزایش چگالی در این نقطه روبهرو هستیم. تکینگی توسط ناحیهی مرزی بهنام افق رویداد پوشانده می شود. بر طبق نظریه نسبیت عام، ناحیهی افق رویداد- که شکلاش با توجه به تقارن مرزی متریک تعیین می شود- دسترسی اطلاعاتی ما را از درون سیاهچاله ناممکن می کند. افق رویداد ابرسطحی است که گذار به سرخ در آنجا بینهایت می شود و همچنین حرکت نور و ماده از آن تنها در یک جهت و تنها به درون سیاهچاله ممکن است.
سیاهچالهها انواع مختلفی دارند که سادهترین نوع آن‌ها سیاهچاله‌هایی هستند که تنها جرم دارند و عاری از بار الکتریکی و تکانه زاویهای هستند. این سیاهچالهها را اغلب با نام سیاهچالههای شواتزشیلد میشناسند. البته جوابهایی برای معادلات انیشتین که سیاهچالههای کلیتری را توصیف می‌کنند نیز وجود دارند. مثلاً متریک رایسنر- نورسترم سیاهچالههای باردار ایستا و متریک کر سیاهچالههای چرخان بدون بار الکتریکی را توصیف می‌کنند. کلیترین جواب موجود برای سیاهچالههای پایا متریک کر- نیومن است که سیاهچاله‌هایی را توصیف می‌کند که علاوه بر جرم، بار الکتریکی و نیز تکانه زاویهای دارند. دلیل داشتن تکانهی زاویهای این است که وقتی ستارههایی که دارای تکانهی زاویهای هستند متلاشی میشوند بر طبق قانون پایستگی اندازه حرکت زاویهای سیاهچالهای که از رمبش گرانشی آن به وجود می آید نیز دارای اندازه حرکت زاویهای است.
۳-۱۰ ترمودینامیک سیاهچالهها
اگر بخواهیم مکانیک کوانتومی را برای گرانش تعمیم دهیم با مشکلات زیادی روبهرو میشویم. برای فهم گرانش کوانتومی به سیستمی نیازمندیم که رفتار کلاسیک و کوانتمی را با هم در بر داشته باشد که یکی از این نمونه سیستمها، سیاهچالهها هستند. از این رو بررسی ترمودینامیک سیاهچالهها می تواند قدمی به سمت فهم گرانش کوانتومی باشد.
به طور کلی سیاهچالهها توسط جرم، تکانهی زاویهای و بار الکتریکیشان توصیف میشوند. از نظر کلاسیکی سیاهچالهها جذبکننده های کاملی هستند که هیچ چیزی گسیل نمیکنند و دمای فیزیکی مطلقشان صفر است. هاوکینگ با بهره گرفتن از نظریۀ میدانهای کوانتومی نشان داد که سیاهچالهها با یک طیف دمایی کامل تابش می کنند ]۴۹[. این تابش امروزه به تابش هاوکینگ موسوم است. در سال ۱۹۷۱ هاوکینگ اثبات کرد که مساحت افق سیاهچالهها نمیتواند تحت هیچ فرایندی کاهش پیدا کند و بهعلاوه نشان داد که وقتی دو سیاهچاله با هم ادغام میشوند مساحت سطح سیاهچالهی جدید نمیتواند کوچکتر از مجموع مساحتهای اولیه باشد ]۵۰[. سپس بکنشتین از قیاس با قانون دوم ترمودینامیک پیشنهاد کرد که یک آنتروپی وابسته به سطح افق در سیاهچاله وجود دارد [۱۶و۵۱]. کمی بعد کارتر، باردن و هاوکینگ رابطه بین قوانین فیزیکی سیاهچالهها در نظریه نسبیت عام و قوانین ترمودینامیک را بطور کامل نشان دادند ] ۱۵[.
۳-۱۰-۱ چهار قانون مکانیک سیاهچالهها
قوانین ترمودینامیک سیاهچالهها عبارتند از:
قانون صفرم:
قانون صفرم مکانیک سیاهچالهها بیان می کند، برای یک سیاهچاله در حال تعادل و پایدار گرانش سطحی[۳۳] که آنرا با نمایش میدهیم روی افق رویداد یک سیاهچاله ثابت میماند ]۵۲[. این ثابت ماندن رهنمونی با قانون صفرم ترمودینامیک است؛ بدین معنی که دما در نقاط مختلف یک سیستم ترمودینامیکی که در تعادل گرمایی است، یکسان میباشد.
قانون اول:
اگر یک سیاهچالهی باردار چرخان از یک حالت پایا با آنتروپی ، بار و تکانه زاویهای به حالت پایای دیگر (در نزدیکی حالت قبلی) با آنتروپی ، بار و تکانه زاویهای برود، داریم:
(۳-۱۰-۱)
که در این رابطه دمای افق رویداد ، پتانسیل الکتریکی، سرعت زاویهای افق رویداد و جرم سیاهچاله است. در صورت چرخان یا باردار نبودن سیاهچاله، جملات مربوط به این کمیتها در رابطه (۳-۱۰-۱) صفر خواهند شد.
قانون دوم:
قانون دوم میگوید، مساحت افق کاهش ناپذیر است. بهعبارت دیگر در هیچ فرایند فیزیکی، مساحت افق رویداد سیاهچاله نمیتواند کاهش یابد، یعنی همیشه داریم .
قانون دوم تعمیم یافته: تعمیم قانون دوم توسط بکنشتاین مطرح شد و او این‌گونه بیان کرد، مجموع آنتروپی بیرون سیاهچاله و آنتروپی خود سیاهچاله هرگز کاهش نمییابد. تشابه این قانون با قانون دوم ترمودینامیک است، یعنی افزایش همیشگی آنتروپی.
قانون سوم:
گرانش سطحی افق سیاهچاله نمیتواند توسط تعداد متناهی فرایند فیزیکی به صفر مطلق برسد.
۳-۱۰-۲ دما
در تلاش برای توسعه محاسبات در تابش خوبهخودی، هاوکینگ به این حقیقت دست یافت که حتی سیاهچالهی غیرچرخنده هم می تواند تابش کند و نشان داد که باید یک دمای غیرصفر به افق سیاهچاله نسبت داد [۴۹] که از رابطه زیر تبعیت می کند ]۵۳[:
(۳-۱۰-۲)
بر طبق تعریف، گرانش سطحی عبارت است از شتاب یک ذرهی در نزدیک افق که توسط ناظری در بینهایت فضایی اندازه گیری شود.
اگر یک میدان بردار کیلینگ باشد به طوری که روی سطح افق حادثه نول باشد، گرانش سطحی را میتوان از رابطه زیر استخراج نمود ]۲۵و۲۷[:
دانلود پایان نامه با موضوع لایه های سیاه گرانش گوس- بونه در حضور دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی- فایل ...
