(۳-۶-۳)
در معادله­ فوق  تانسور اینشتین برای متریک مرز است و  رد تانسوری  است که به­ صورت زیر تعریف می­ شود:

(۳-۶-۴)
بنابراین در گرانش گوس- بونه، کنش سطحی کل به صورت زیر خواهد بود:
(۳-۶-۵)
با در نظر گرفتن رابطه­ (۳-۶-۵) به همراه کنش گوس- بونه، در راه رسیدن به معادلات میدان گرانشی، تمامی جملات خوش­رفتار می­گردند.
۳-۷ بردارهای کیلینگ^[۲۵] و تقارن­های فضازمان
با در نظر گرفتن یک متریک، در صورتی که بخواهیم کمیت­های پایای متناظر با آن را محاسبه کنیم، می­بایست تقارن­های فضازمان را داشته باشیم. چراکه بر طبق قضیه­ی نواِدر^[۲۶]، متناظر با هر تقارن پیوسته یک کمیت پایا وجود دارد. برای مطلع شدن از تقارن­های فضازمان باید بردارهای کیلینگ آن متریک را بدانیم.
با توجه به رابطه­ تبدیلات متریک در هر نقطه داریم:
(۳-۷-۱)
متریک  را تحت تبدیل  از نظر شکل هموردا^[۲۷] گویند هرگاه تبدیل یافته  دارای همان تابعیت از متغیرهایش  باشد که متریک اولیه­  نسبت به متغیرهایش  است، به­عبارت دیگر متریک جدید و قدیم باید یک تابعیت از مختصات جدید و قدیم داشته باشند، به­عنوان مثال اگر  تحت دوران نسبت به یک محور ثابت بماند  نیز باید تحت دوران نسبت به همان محور ثابت بماند. یعنی:
(۳-۷-۲)
به کمک روابط فوق می­توان به روابط زیر رسید:
(۳-۷-۳)
به­عبارت دیگر ایزومتری­های فضازمان را می­توان به کمک مبحث تبدیلات استخراج نمود. در حالت کلی کار کردن با روابط فوق پیچیده است؛ لذا برای سادگی از تبدیلات مختصات بی­نهایت کوچک^[۲۸] زیر استفاده می­کنیم:
(۳-۷-۴)
با اندکی محاسبه و کمک گرفتن از روابط تبدیلات متریک می­توان به رابطه­ زیر رسید [۲۵و۲۷]:
(۳-۷-۵)
در نظریه­ نسبیت عام چاربردار  که رابطه­ (۲-۵-۷) را برآورده سازد، بردار کیلینگ نامیده می­ شود و همان­طور که ذکر شد، متناظر با هر بردا کیلینگ یک کمیت پایا وجود دارد.
۳-۸ سیاه­چاله چیست؟
به­ دلیل بزرگ بودن ستاره­ها و وجود جرم عظیم در ساختار آن‌ها، میدان جاذبه­ی گرانشی همواره در تلاش برای درهم فروریختن ستاره است. از طرفی هم­جوشی­هائی که در مرکز ستاره­ها انجام می­شوند با مقابله با میدان گرانشی عامل ایجاد ثبات در این میان است و ستاره را از نابودی حفظ می­ کند.
هنگامی که فشار داخلی یک جسم برای مقاومت در برابر نیروی گرانشی خود جسم کافی نباشد رمبش گرانشی^[۲۹] رخ می­دهد. به­عبارت دیگر زمانی که در یک ستاره به­ دلیل کم شدن فرایند هم­جوشی، تولید انرژی از طریق سنتزهای هسته­ای قادر به حفظ دما نباشد، حادثه­ی رمبش گرانشی رخ می­دهد.
پس از رمبش گرانشی، بر اثر فشار تبهگنی شکافت هسته­ای (تبدیل هیدروژن به هلیوم یونیزه) متوقف می­گردد و اجزای تشکیل دهنده ستاره فشرده­تر می­ شود و ماده به ماده­ای که به اندازه­ قابل توجهی چگال­تر است، تبدیل می­ شود. حاصل این رویداد یک نوع ستاره­ی فشرده است که نوع آن به جرم ماده­ باقی‌مانده بستگی دارد. اگر جرم آن ۳ الی ۴ برابر جرم خورشید باشد (حد تولمن^[۳۰]- اوپنهایمر^[۳۱]- وولکوف^[۳۲]) حتی فشار تبهگنی نوترون­ها برای متوقف سازی فروپاشی کافی نخواهد بود. پس از این هیچ مکانیزم شناخته شده­ای قدرت کافی برای متوقف سازی فروپاشی را ندارد و جسم در نهایت به ناگزیر به یک سیاه­چاله تبدیل می­ شود.
به­ طور کلی، یک سیاه­چاله ناحیه­ای از فضازمان است که از فروریزش گرانشی جرم­های سنگین به ­وجود خواهد آمد و در نهایت به یک تکینگی در فضازمان منجر می­ شود که به وسیله­ ابرسطح یک­طرفه­ای که افق رویداد نامیده می­ شود از سایر قسمت­ های فضازمان جدا می­ شود ]۴۸[.
در حال حاضر گمان بر این است که تقریباً در مرکز تمام کهکشان­ها سیاه­چاله­های بسیار بزرگی وجود دارند که جرمی میلیون­ها و یا حتی میلیاردها برابر جرم خورشید دارند، همچنین گمان می­رود که نمونه­های بسیاری از سیاه­چاله­های کوچک در کهکشان­ها وجود دارند. تعداد اندکی از این سیاه­چاله­ها در کهکشان ما نیز شناسایی شده ­اند.
۳-۹ خصوصیات هندسی سیاه­چاله
در نسبیت عام، وجود گرانش نشانه­ی انحنای فضازمان است. اجسام پرجرم فضازمان را خمیده­تر می­ کنند به­طوریکه قوانین هندسه­ی تخت دیگر کارایی خود را از دست می­ دهند. در نزدیکی سیاه­چاله این انحنای فضازمان بسیار شدید است و سبب می­ شود سیاه­چاله ویژگی­های عجیب و جالب توجهی داشته باشد.
صفت سیاه در سیاه­چاله به این دلیل است که نور راه یافته به افق رویداد را در خود به دام می­ اندازد و این به معنی نداشتن اطلاعاتی از درون سیاه­چاله است. بر اساس نظریه­ نسبیت عام، در درون افق هر سیاه­چاله یک تکینگی است. در رابطه با سیاه­چاله­های استاتیک تکینگی به­ طور حدی یک نقطه­ی بدون حجم در نظر گرفته می­ شود که تمام جرم در این نقطه متمرکز می­گردد و بنابراین با وضعیت بی­نهایت شدن خمیدگی فضازمان و افزایش چگالی در این نقطه روبه­رو هستیم. تکینگی توسط ناحیه­ی مرزی به­نام افق رویداد پوشانده می­ شود. بر طبق نظریه­ نسبیت عام، ناحیه­ی افق رویداد- که شکل­اش با توجه به تقارن مرزی متریک تعیین می­ شود- دسترسی اطلاعاتی ما را از درون سیاه­چاله ناممکن می­ کند. افق رویداد ابرسطحی است که گذار به سرخ در آنجا بی­نهایت می­ شود و همچنین حرکت نور و ماده از آن تنها در یک جهت و تنها به درون سیاه­چاله ممکن است.
سیاه­چاله­ها انواع مختلفی دارند که ساده­ترین نوع آن‌ها سیاه­چاله‌هایی هستند که تنها جرم دارند و عاری از بار الکتریکی و تکانه زاویه‌ای هستند. این سیاه­چاله‌ها را اغلب با نام سیاه­چاله­های شواتزشیلد می­شناسند. البته جواب­هایی برای معادلات انیشتین که سیاه­چاله‌های کلی­تری را توصیف می‌کنند نیز وجود دارند. مثلاً متریک رایسنر- نورسترم سیاه­چاله‌های باردار ایستا و متریک کر سیاه­چاله‌های چرخان بدون بار الکتریکی را توصیف می‌کنند. کلی­ترین جواب موجود برای سیاه­چاله‌های پایا متریک کر- نیومن است که سیاه­چاله‌هایی را توصیف می‌کند که علاوه بر جرم، بار الکتریکی و نیز تکانه زاویه‌ای دارند. دلیل داشتن تکانه­ی زاویه­ای این است که وقتی ستاره­هایی که دارای تکانه­ی زاویه­ای هستند متلاشی می­شوند بر طبق قانون پایستگی اندازه حرکت زاویه­ای سیاه­چاله­ای که از رمبش گرانشی آن به ­وجود می ­آید نیز دارای اندازه حرکت زاویه­ای است.
۳-۱۰ ترمودینامیک سیاه­چاله­ها
اگر بخواهیم مکانیک کوانتومی را برای گرانش تعمیم دهیم با مشکلات زیادی روبه­رو می­شویم. برای فهم گرانش کوانتومی به سیستمی نیازمندیم که رفتار کلاسیک و کوانتمی را با هم در بر داشته باشد که یکی از این نمونه سیستم­ها، سیاه­چاله­ها هستند. از این رو بررسی ترمودینامیک سیاه­چاله­ها می ­تواند قدمی به سمت فهم گرانش کوانتومی باشد.
به­ طور کلی سیاه­چاله­ها توسط جرم، تکانه­ی زاویه­ای و بار الکتریکی­شان توصیف می­شوند. از نظر کلاسیکی سیاه­چاله­ها جذب­کننده­ های کاملی هستند که هیچ چیزی گسیل نمی­کنند و دمای فیزیکی مطلق­شان صفر است. هاوکینگ با بهره گرفتن از نظریۀ میدان­های کوانتومی نشان داد که سیاه­چاله­ها با یک طیف دمایی کامل تابش می­ کنند ]۴۹[. این تابش امروزه به تابش هاوکینگ موسوم است. در سال ۱۹۷۱ هاوکینگ اثبات کرد که مساحت افق سیاه­چاله­ها نمی­تواند تحت هیچ فرایندی کاهش پیدا کند و به­علاوه نشان داد که وقتی دو سیاه­چاله با هم ادغام می­شوند مساحت سطح سیاه­چاله­ی جدید نمی­تواند کوچک­تر از مجموع مساحت­های اولیه باشد ]۵۰[. سپس بکنشتین از قیاس با قانون دوم ترمودینامیک پیشنهاد کرد که یک آنتروپی وابسته به سطح افق در سیاه­چاله وجود دارد [۱۶و۵۱]. کمی بعد کارتر، باردن و هاوکینگ رابطه­ بین قوانین فیزیکی سیاه­چاله­ها در نظریه­ نسبیت عام و قوانین ترمودینامیک را بطور کامل نشان دادند ] ۱۵[.
۳-۱۰-۱ چهار قانون مکانیک سیاه­چاله­ها
قوانین ترمودینامیک سیاه­چاله­ها عبارتند از:
قانون صفرم:
قانون صفرم مکانیک سیاه­چاله­ها بیان می­ کند، برای یک سیاه­چاله در حال تعادل و پایدار گرانش سطحی^[۳۳] که آن­را با  نمایش می­دهیم روی افق رویداد یک سیاه­چاله ثابت می­ماند ]۵۲[. این ثابت ماندن رهنمونی با قانون صفرم ترمودینامیک است؛ بدین معنی که دما در نقاط مختلف یک سیستم ترمودینامیکی که در تعادل گرمایی است، یکسان می­باشد.
قانون اول:
اگر یک سیاه­چاله­ی باردار چرخان از یک حالت پایا با آنتروپی  ، بار  و تکانه­ زاویه­ای  به حالت پایای دیگر (در نزدیکی حالت قبلی) با آنتروپی  ، بار  و تکانه­ زاویه­ای  برود، داریم:
(۳-۱۰-۱)
که در این رابطه  دمای افق رویداد ،  پتانسیل الکتریکی،  سرعت زاویه­ای افق رویداد و  جرم سیاه­چاله است. در صورت چرخان یا باردار نبودن سیاه­چاله، جملات مربوط به این کمیت­ها در رابطه­ (۳-۱۰-۱) صفر خواهند شد.
قانون دوم:
قانون دوم می­گوید، مساحت افق کاهش ناپذیر است. به­عبارت دیگر در هیچ فرایند فیزیکی، مساحت افق رویداد سیاه­چاله نمی­تواند کاهش یابد، یعنی همیشه داریم  .
قانون دوم تعمیم یافته: تعمیم قانون دوم توسط بکنشتاین مطرح شد و او این‌گونه بیان کرد، مجموع آنتروپی بیرون سیاه­چاله و آنتروپی خود سیاه­چاله هرگز کاهش نمی­یابد. تشابه این قانون با قانون دوم ترمودینامیک است، یعنی افزایش همیشگی آنتروپی.
قانون سوم:
گرانش سطحی افق سیاه­چاله نمی­تواند توسط تعداد متناهی فرایند فیزیکی به صفر مطلق برسد.
۳-۱۰-۲ دما
در تلاش برای توسعه محاسبات در تابش خوبه­خودی، هاوکینگ به این حقیقت دست یافت که حتی سیاه­چاله­ی غیرچرخنده هم می ­تواند تابش کند و نشان داد که باید یک دمای غیرصفر به افق سیاه­چاله نسبت داد [۴۹] که از رابطه­ زیر تبعیت می­ کند ]۵۳[:
(۳-۱۰-۲)
بر طبق تعریف، گرانش سطحی عبارت است از شتاب یک ذره­ی در نزدیک افق که توسط ناظری در بی­نهایت فضایی اندازه ­گیری شود.
اگر  یک میدان بردار کیلینگ باشد به­ طوری که روی سطح افق حادثه نول باشد، گرانش سطحی را می­توان از رابطه­ زیر استخراج نمود ]۲۵و۲۷[: