در نوع دوم که روش وزن های با معیار بازه ای می باشد به شرح زیر عمل می نمائیم. فرض کنید که می خواهیم مساله ای با p تابع هدف را بهینه سازی نمائیم . با این روش می توانیم ۲p+1 بردار وزنی مختلف ایجاد نمائیم. بردار های وزنی طبق روابط زیر به دست می آیند
که در آن می باشد. مشکل این روش این است که تعداد بردارهای وزنی ایجاد شده کم می باشد برای مثال برای یک مساله چند هدفه با دو تابع هدف می توان تنها ۵ بردار وزنی ایجاد نمود که ممکن است بخش زیادی از فضای هدف را نتواند پوشش دهد.
۳-۵-۴-سایر روش های تعاملی یافتن مجموعه جواب غیر مسلط در فضای غیرمحدب
روش های تعاملی دیگری برای بهینه سازی چند هدفه به منظور یافتن مجموعه جواب های پشتیبانی شده و نشده درفضای غیرمحدب در ادبیات موضوع بیان گردیده است. برای مروری کامل و جامع بر این مدل ها به کتاب ارائه شده توسط ارگات و گاندیبلکس[۱۳۴] (۲۰۰۴) و مقاله ارائه شده توسط آلوس و کلیمکائو(۲۰۰۰) مراجعه نمائید.
۱۴-۴- نتیجه گیری
روش های بهینه سازی چند هدفه بر پایه فاصل چبیشف در بین محققین از مطلوبیت بالایی برخوردار می باشند زیرا توانایی تولید دسته بزرگی از پاسخ های بهینه غیرمسلط (پشتیبانی شده یا نشده) را دارا می باشند. در این فصل با مبانی بهینه سازی چند معیاره و روش چبیشف آشنا شده و انواع آن را بررسی نمودیم. مدل زنجیره تامین پیشنهادی علاوه بر چند هدفه بودن دارای پارامترهای فازی نیز می باشد که برای رفع و رجوع آنها نیازمندیم با مبانی تئوری فازی و امکانی آشنا شویم. در فصل بعد به تفصیل راجع به این موارد بحث خواهد گردید.
فصل پنجم- برنامه ریزی فازی
۱-۵- مقدمه
بسیاری از مسائل دنیای واقعی شامل متغیرها و محدودیت های زبان شناختی و یا مبهم هستند. ابهام اشاره شده در یک سیستم به دلیل تصادفی بودن نیست بلکه بیشتر به دلیل فازی بودن است. این پدیده می تواند به دلایل مختلف به وجود بیاید. معمولا تصمیم گیرندگان می توانند راحت تر و مناسب تر اهداف ویا محدودیت های در یک سیستم را به شکل متغیرهای زبان شناختی[۱۳۵] بیان نمایند. در بیشتر موارد، بدست آوردن داده های دقیق امری بسیار مشکل می باشد زیرا محیط اکثر سیستم ها ( مخصوصا در مدت زمان طولانی) غیرپایدار بوده یا جمع آوری داده های قطعی مستلزم صرف هزینه های هنگفتی می باشد. علاوه بر این، تصمیم گیرنده ممکن است نتواند اهداف یا محدودیت ها را به طور دقیق بیان نماید زیرا تابع مطلوبیت وی تعریف نگردیده ویا بطور مشخص قابل تعریف نبوده و یا مساله تصمیم گیری تحت شرایط فازی بیان شده است (زیمرمن، ۱۹۷۶) .
واضح است که روش های بهینه سازی کلاسیک در مواجه با این شرایط کارایی خود را از دست می دهند و نمی توان از آنها برای رفع و رجوع متغیرهای زبان شناختی یا عدم قطعیت به این فرم در یک برنامه ریزی ریاضی استفاده نمود. نتیجتا، تصمیم گیرندگان معمولا مجبور می شوند که مسائل را با بهره گرفتن از عبارات قطعی و دقیق ریاضی بیان نمایند. با این وجود، حتی اگر یک مساله به خوبی ساختاربندی شده باشد، یک مدل غیرفازی ریاضی معمولا نمی تواند سیستم را به خوبی مدل نماید. تئوری مجموعه های فازی ارائه شده توسط پرفسور لطفی زاده (۱۹۶۵) فرصتی برای رفع و رجوع متغیر های زبان شناختی و ابهام در سیستم های دنیای واقعی مهیا می نماید. برای مدل سازی سیستم هایی که شامل ابهام هستند، برنامه ریزی فازی که بر پایه تئوری مجموعه های فازی می باشد معمولا به کار می رود. تصمیم گیری فازی و برنامه ریزی ریاضی فازی مبنایی برای مدل سازی سیستم ها با توجه به وضعیت موجود اطلاعات در دسترس مهیا می نماید. در پیوست A مفاهیم اولیه تئوری فازی بیان گردیده است که در صورت عدم آشنایی قبلی خواننده با این تئوری، مطالعه آن قبل از ادامه این فصل توصیه می گردد.
از آنجائی که مدل های ریاضی فازی می توانند سیستم هایی نزدیک تر به واقعیت را مدل نمایند، برنامه ریزی ریاضی فازی برای مدل کردن مسائل ریاضی در زمینه های بسیار مختلفی به کار گرفته شده است.برای مروری بر زمینه های مختلفی که برنامه ریزی ریاضی فازی در آنها به کار رفته است می توانید به بایکاسوگلو و گوکن [۱۳۶]مراجعه بنمایید (۲۰۰۸)
روش های مختلفی برای دسته بندی مسائل برنامه ریزی ریاضی فازی توسط محققین متعدد ارائه گردیده است. زیمرمن برنامه های ریاضی فازی را با توجه به روش حلشان به دو دسته متقارن[۱۳۷] و غیرمتقارن[۱۳۸] تقسیم بندی می نماید. برنامه ریزی متقارن به آن دسته از برنامه های ریاضی فازی اطلاق می شود که توابع هدف و محدودیت ها در هم ادغام می شوند و به هردو به یک چشم نگریسته می شود و هدف برآورده سازی هرچه بیشتر سطوح تمایل[۱۳۹] مربوط به هرکدام می باشد. در ادامه تعریف برنامه ریزی متقارن ارائه شده توسط بلمن و زاده[۱۴۰](۱۹۷۰) می پردازیم.
۱-۱-۵- برنامه ریزی متقارن
فرض کنید که یک آرمان فازی و یک محدودیت فازی در یک فضای متغیرهای X داشته باشیم.آنگاه اشتراک و برای تشکیل یک هدف به کار گرفته می شود. پس می توان نوشت و داریم . شکل ۱-۵ می تواند این روش متقارن را روشن تر نماید.
شکل ۱-۵- برنامه ریزی متقارن
همچنین برای حالت عمومی تر و چندین تابع هدف فرض کنید که k آرمان فازی به شکل و چندین محدودیت به شکل داشته باشیم آنگاه هدف برابر اشتراک این مجموعه های فازی بوده و خواهیم داشت:
(۱-۵)
بلمن و زاده در مقاله سال ۱۹۷۰ خود بیان داشتند که اپراتور min برای اشتراک این دو تابع عضویت بسته به شرایط می تواند تغییر نماید.بطور خلاصه ایشان تصمیم نهایی را تلاقی اهداف و محدودیت ها می دانند.
سطوح تمایل تابع هدف در برنامه ریزی آرمانی کلاسیک همان آرمان های هر هدف می باشد که در برنامه ریزی فازی، اعدادی غیردقیق و به عبارتی مبهم می باشند که عموما بتوسط اعداد فازی خطی(LFN) معین می گردند. مشخص کردن سطوح تمایل توابع هدف می تواند ذهنی و بسته به نظر تصمیم گیرنده باشد ویا از روش های ریاضی بدست آید. در بخش های بعدی به روش زیمرمن به عنوان مبنای مدل های بهینه سازی چند هدفه فازی پرداخته خواهد شد.
۲-۵- انواع دسته بندی برنامه ریزی ریاضی فازی
لوهونژولا[۱۴۱] (۱۹۸۹) مدل های برنامه ریزی ریاضی فازی را به سه دسته تقسیم بندی می نماید
برنامه ریزی انعطاف پذیر[۱۴۲]
برنامه ریزی ریاضی با پارامترهای فازی
برنامه ریزی فازی احتمالی
منظور از برنامه ریزی انعطاف پذیر آن دسته از برنامه های ریاضی فازی می باشد که در آن سطوح تمایلی برای توابع هدف مشخص شده است و الزاما نیازی نیست که پارامتر های درون مدل ( تابع هدف، محدودیت ها و مقادیر سمت راست) اعداد فازی بوده و دارای ابهام باشند. وی همچنین برنامه ریزی انعطاف پذیر را همانند زیمرمن به دو زیر بخش متقارن و غیر متقارن تقسیم بندی نموده است.علاوه بر آن، برنامه ریزی ریاضی با پارامترهای فازی نیز به دو زیر بخش عمده مسائل با تابع هدف قطعی و مسائل با تابع هدف فازی تقسیم بندی می گردد.. برنامه ریزی فازی احتمالی نیز مربوط به مسائلی است که در آن هم پارامترهای فازی و هم پارامترهای احتمالی مشاهده می گردند.
نگویتا[۱۴۳](۱۹۸۱) مسائل بهینه سازی فازی را به دو دسته کلی تقسیم بندی می نماید:
برنامه ریزی انعطاف پذیر برای مسائل با معادلات و اهداف فازی ( طبیعت موهوم[۱۴۴])
برنامه ریزی استوار برای مسائل دارای پارامترهای فازی (طبیعت مبهم[۱۴۵])
اینویگوچی و رامیک[۱۴۶] (۲۰۰۰) اشاره می کنند که دو نوع عدم قطعیت در دنیای واقعی وجود دارد، ایهام[۱۴۷] و ابهام[۱۴۸]
ایهام مربوط به دشواری در تعریف حدود تیز می باشد. برای مثال تعریف غیرقطعی “تقریبا کمتر از ده دقیقه” نشان دهنده ایهام در سطوح مورد انتظار می باشد. این تعریف یک حد تیز روی مجموعه ای از مقادیر رضایت بخش قرار نمی دهد اما بیان می دارد که مقادیر حول و حوش ده دقیقه و کمتر از ده دقیقه تاحدودی و کاملا رضایت بخش می باشند.این تعریف رابطه نزدیکی با سطوح تمایل در برنامه ریزی انعطاف پذیر دارد.
ابهام مربوط به موقعیت هایی است که در آن انتخاب بین دو یا چند گزینه مشخص نیست. برای مثال، تعریف غیرقطعی ” تقریبا دو دقیقه” نشان دهنده ابهام در مقدار واقعی است که در آن مقداری حول و حوش دو دقیقه صحیح است اما دقیقا مشخص نیست. مقادیری مانند “تقریبا دو دقیقه"، ” حول و حوش سی کیلوگرم” و نظیر آن را بتوسط اعداد فازی مدل می نمایند.
اینویگوچی و رامیک همچنین دسته بندی مدل های برنامه ریزی ریاضی فازی را به زیربخش های زیر تقسیم می نمایند:
برنامه ریزی انعطاف پذیر: مسائل تصمیم گیری با اهداف و محدودیت های فازی که در آن این اهداف و محدودیت های فازی نشان دهنده انعطاف پذیری مقادیر آرمانی مربوط به توابع اهداف و کشسانی[۱۴۹] محدودیت ها می باشند.
برنامه ریزی امکانی: مسائل تصمیم گیری که شامل پارامترهای تابع هدف،محدودیت ها و مقادیر دست راست محدودیت ها به شکل مبهم می باشند ولی دارای مقادیر آرمانی و محدودیت های فازی نمی باشند جزو این دسته قرار می گیرند.
برنامه ریزی استوار[۱۵۰]: مسائل تصمیم گیری که شامل پارامترهای مبهم و همچنین ترجیحات دارای ایهام تصمیم گیرنده می باشد.
لئونگ[۱۵۱] (۱۹۸۸) نیز مدل های برنامه ریزی ریاضی فازی را به چهار دسته تقسیم بندی می نماید
تابع هدف دقیق و محدودیت های فازی
تابع هدف فازی و محدودیت های دقیق
تابع هدف فازی و محدودیت های فازی
برنامه ریزی استوار
در دسته بندی نسبتا کامل و جدیدی که توسط بایکاسوگلو و گوکن(۲۰۰۸) صورت گرفته است مولفان بیان می دارند که در تمام مسائل برنامه ریزی ریاضی فازی حداقل یکی از موارد زیر دارای ابهام می باشند و می بایست بتوسط پارامترهای فازی نشان داده شوند
مقادیر مورد انتظار توابع هدف (مقادیر آرمانی)
مقادیر حدی منابع ( مقادیر دست راست محدودیت ها)
پارامترهای توابع هدف
ضرایب استراتژیک در محدودیت ها
