در جائیکه  ضریب انتقال حرارت برای جریان گذار بر نانو ذرات،  ضخامت لایه مرزی ضروی گرمایی ،  نسبت حجمی نانو ذرات  ، Re عدد رینولرز براساس قطر ذره و Pr عدد پرانتل را نشان می دهد. مزیت این روش این است که اثر نسبت حجمی، دما و اندازه ذره را در نظر می گیرد.

پراشر و همکارانش ‍]۳۴[ مدل دیگری را ارائه کردند که آنها رسانایی گرمایی ذرات جامد را با بهره گرفتن از نظریه جنبشی گازها مدل کردند. آنها جابجایی را که بر اثر حرکت براونی نانو ذرات بوجود می آمد را عامل اصلی افزایش رسانایی گرمایی دانستند. بوسیله تعریف رابطه عمومی برای ضریب انتقال حرارت h، مدل ماکسول را بوسیله گنجاندن جابجایی سیال در مجاورت ذرات به خاطر براونی اصلاح کرد:

(۲-۱۱)

که و m,A دو ثابت هستند. عدد رینولدز به صورت زیر نوشته می شود:

(۲-۱۲)

بنابراین مدلها و مکانیزه های متفاوت که به نظریه کلاسیک، لایه گذاری سیال، انباشتگی ذرات و حرکت ذره وابسته هستند، در تلاش هایی برای توضیح رفتار نانو سیالات توسعه داده شده اند با این حال موفقیت این مدلها بسیار محدود بوده است.
۲-۶-۲- کارهای تجربی انجام شده در زمینه ضریب رسانش حرارتی موثر نانوسیال
ازکارهای تجربی انجام شده در زمینه ضریب رسانش حرارتی موثر نانوسیال، ایستمن و همکارانش [۳۵] تغییرات ضریب رسانش حرارتی موثر مخلوط مس- اتیلن گلیکول را با قطر ذرات نانو کمتر از nm10 را مورد بررسی قرار داده‌اند. آن­ها افزایش ۴۰ درصد در ضریب رسانش حرارتی موثر را برای نسبت حجمی ۳/۰ درصد گزارش کردند. آن­ها نشان دادند که افزایش در نسبت سطح به حجم ذرات نانو موجب افزایش بیشتر ضریب رسانش حرارتی خواهد شد. همچنین نتایج بیانگر آن است که افزایش اسید به نانوسیال باعث پایداری نانوسیال و افزایش ضریب رسانش حرارتی آن می­ شود. لی و پترسون [۳۶]، اثر دما و نسبت حجمی نانوذرات را بر روی ضریب رسانش حرارتی موثر نانوسیال با نانوذرات CuO با قطر nm29 و Al₂O₃ با قطر nm36 معلق در آب به عنوان سیال پایه مورد بررسی قرار دادند. یافته­ ها بیانگر آن است که نسبت حجمی ذرات نانو، قطر ذرات نانو ، نوع ماده و دمای نانوسیال در اندازه­ ضریب رسانش حرارتی موثرند. به عنوان مثال آن­ها نشان دادند که افزایش دما از ۲۷ تا ۷/۳۴ درجه­ سلسیوس باعث افزایش ضریب رسانش حرارتی موثر تا سه برابر شده است.
۲-۶-۳- کارهای تجربی انجام شده در زمینه ویسکوزیته موثر نانوسیال
اولین بار آلبرت انیشتین [۳۷]، رابطه­ای برای ویسکوزیته موثر نانوسیال با نانو ذرات کروی ارائه کرده است. در این رابطه تنها اثر نسبت حجمی ذرات نانو در نظر گرفته شده است. سیمها [۳۸]، رابطه­ای برای ویسکوزیته موثر نانوسیال ارائه کرد که علاوه بر نسبت حجمی نانوذرات اثر شکل آن­ها نیز در این رابطه در نظر گرفته شده است. کو و کلینستر [۳۹]، رابطه ای برای ویسکوزیته موثر نانوسیال ارائه کردند که در آن علاوه بر نسبت حجمی نانوذرات اثر حرکت براونی نانوذرات و دمای نانوسیال نیز در نظر گرفته شده است.
۲-۷- کارهای تجربی انجام شده در زمینه­ انتقال حرارت در نانوسیال
ازکارهای تجربی انجام شده در زمینه­ انتقال حرارت در نانوسیال ها، ماسودا و همکاران ‌‌‌‌‌‌‌‌‌[۴] اولین کسانی بود که به بررسی انتقال حرارت در جریان نانو­سیال پرداخت. آن­ها مخلــوط آب-SiO₂ را مورد آزمایش قرار داد و ۲۰ درصد افزایش را در انتقال حرارت نانوسیال نسبت به سیال گزارش کرد. ژان و لی [۴۰] به بررسی تجربی جریان و انتقال حرارت جابجایی مخلوط آب -Cu در یک لوله با یک شار حرارتی ثابت از دیواره پرداختند. نتایج آن­ها نشان می­دهد که با افزایش ذرات نانو به سیال انتقال حرارت افزایش می­یابد. همچنین در این کار ادعا شده است که در نسبت­های حجمی کوچک ذرات نانو اصطکاک در نانوسیال افزایش نمی­یابد و در قدرت پمپ کردن نانوسیال تغییری حاصل نمی­ شود. دینگ و همکاران [۴۱] به بررسی تاثیر نانوسیال CNT ^[۳۲] بر انتقال حرارت در یک لوله با قطر داخلی mm 5/4 پرداختند. در این تحقیق نیز افزایش انتقال حرارت در نانوسیال گزارش شده است.
۲-۸- کارهای عددی انجام شده در زمینه­ انتقال حرارت در نانوسیال درداخل حفره‌ی مربعی
بخش بعدی مطالعات مطرح شده در زمینه نانوسیال مختص روش­های عددی است. این روش­ها از نظر هزینه و زمان محاسبات نسبت به روش­های تجربی بسیار مقرون به صرفه است و جزئیات بیشتری از جریان جابجایی طبیعی درون حفره را آشکار می­سازد. اما صحت­سنجی آن­ها حتما باید توسط داده ­های تجربی تایید گردد. هرچند بطور کل تحقیقات انجام شده روی نانوسیال بسیار محدود می­باشد اما در سال­های اخیر رشد قابل توجهی در تحلیل عددی در این زمینه صورت گرفته است. خانافر و همکاران [۴۲] اولین کسانی بودند که جریان نانوسیال را به صورت عددی شبیه­سازی کردند. آن­ها جریان جابجایی طبیعی مخلوط آب- Cu را در یک حفره­ی مربعی مورد بررسی قرار دادند. نتایج آن­ها نشان داده است که انتقال حرارت و سرعت جریان نانوسیال نسبت به سیال خالص به دلیل افزایش ضریب رسانش حرارتی و حرکت رندومی نانوذرات، افزایش می­یابد. هو و همکاران [۴۳] اثر معادلات مختلف ارائه شده برای ضریب رسانش حرارتی و ویسکوزیته­ی مؤثر نانوسیال بر روی میزان انتقال حرارت جریان نانوسیال آب- Al₂O₃ را مورد بررسی قرار دادند. آن­ها نشان دادند که معادلات مختلف خواص نانوسیال بر میزان انتقال حرارت تاثیر­گذار است. ابونادا و همکاران [۴۴] نیز جریان نانوسیال را درون یک حفره­ی حلقوی بررسی کردند. در این کار نیز افزایش انتقال حرارت در جریان نانوسیال گزارش شده است. خدادادی و حسینی­زاده [۴۵] نیز برای اولین بار اثر ذرات نانو را در داخل آب به عنوان یک سیال تغیـــیر فاز دهنده بررسی کردند. آن­ها نشان دادند که افزایش ذرات نانو باعث افزایــش ذخیره­ی انرژی در مـــــواد تغییر فاز دهنده خواهد شد همچنین علی پناه و همکارانش [۴۶] رفتار انواع نانو سیال در حفره های بلند را بررسی کردند. آن­ها نشان دادند که افزایش ذرات نانو باعث افزایــش انتقال حرارت خواهد شد.
۲-۹- کارهای انجام شده در زمینه­ تغییر فاز ماده
سلمون و همکارانش [۴۷] یک ذخیره‌کننده انرژی حرارتی را به شیوه عددی مورد بررسی قرار دادند و انرژی داخلی‌، دما و موقعیت مرز تغییر فاز را برای سیستم مورد نظر بررسی کردند. ذخیره کننده مورد بررسی آن‌ها از دو پوسته فلزی هم مرکز که فضای بین دو پوسته PCM وجود داشت تشکیل یافته بود سیال کامل نیز از داخل پوسته داخلی عبور می‌کرد و توسط آن انرژی حرارتی به داخل PCM منتقل می‌شد. استونال و آریمیلی و همکارانش [۴۸] یک سیال ذخیره‌کننده انرژی حرارتی شامل استوانه پر شده از PMC که در اطراف آن سیال عامل جریان داشت را مورد بررسی قرار دادند.
کائو و فقری [۴۹] به بررسی یک ذخیره‌کننده انرژی حرارتی مشابه تحقیق سلمون پرداختند که تنها تفاوت کار آن‌ها با کارهای قبل این بود که کائو و فقری ضریب انتقال حرارت بین سیال عامل و PCM را نیز از طریق حل همزمان معادل انرژی و ممنتم به دست آوردند و در تحقیق مذکور فقط حالت شارژ ذخیره‌کننده مورد بررسی و بحث قرار گرفته بود.
بلکسی و کنتی [۵۰] به مطالعه یک دریافت کننده و ذخیره‌کننده خورشیدی که در حالت تناوبی کار می‌کرد پرداختند، شیوه کار این دریافت‌کننده و ذخیره کننده خورشیدی به این صورت بود که سیالی با شرایط ورودی همواره ثابت در درون لوله جریان داشت و دیواره خارجی استوانه شامل جمع‌کننده‌های انرژی خورشیدی بود در طول روز این جمع‌کننده‌ها مقداری از انرژی خورشیدی را در PMC ذخیره کرده و مقداری را نیز به سیال عامل انتقال رسانده و باعث گرم کردن آن می‌شود و در هنگام نبودن خورشید PCM با تغییر فاز از مایع به جامد باعث گرم کردن سیال عامل می‌شود و این تحقیق آن‌ها به بررسی پارامترهای مختلف هندسی و میزان تأثیر آن‌ها روی کارایی سیستم پرداختند و پیشنهادهایی برای تعیین اندازه بهینه دریافت کننده و ذخیره کننده خورشیدی ارائه کردند.
بلکسی و کنتی [۵۱] یک ذخیره‌کننده انرژی حرارتی نهان را به صورت محوری بررسی کردند ذخیره کننده مورد بررسی آن‌ها دقیقاً مانند ذخیره کننده ای بود که کائو و فقری انجام داده بودند با این تفاوت که مسائله آن‌ها به صورت متناوب بود یعنی علاوه بر فرایند شارژ فرایند تخلیه انرژی را نیز مورد بررسی قرار دارند که رفتار تناوبی مورد مطالعه آن‌ها به صورت حالت پایدار بود یعنی بعد از یک دوره تناوب سیستم به حالت ابتدایی خود باز می‌گشت. آنها اشاره کردند ذخیره‌سازی بدون در نظر گرفتن فرایند تخلیه باعث به وجود آمدن اشتباهات بزرگی در تعیین میزان کارایی سیستم می گردد برای بهینه‌سازی هر دو فرایند را باید با هم بررسی کرد.
ماویتی و رازانی [۵۲] به بررسی یک ذخیره کننده انرژی نهان پرداختند که سیال عامل از اطراف آن حرکت می‌کرد روش بررسی آنها روش تحلیل بود و توسط تکنیک انتگرالی و با بهره گرفتن از قانون دوم ترمودینامیک زمان بهینه تخلیه را برای این ذخیره‌کننده محاسبه می‌کردند.
از دیگر تحقیقاتی که در این زمینه صورت گرفته، می‌توان به کار انجام شده توسط کوتی و همکاران [۵۳] اشاره کرد آنها به بررسی یک ذخیره‌کننده انرژی حرارتی پرداختند که از فرایند تغییر فاز برای ذخیره‌سازی استفاده می‌کرد فرض مهمی که در این تحقیق در نظر گرفته شده این است که ذخیره‌کننده توانایی این را داشته باشد تا باعث شود سیال گرم آنتروپی محیط را کمتر افزایش دهد یا به عبارتی دیگر سیال گرم در موقع خروج از ذخیره‌کننده می‌توانست انتروپی محیط را افزایش دهد.
گنگ و موجومدار[۵۴] اثرات تعبیه PCM را از لحاظ اکزرژی مورد مطالعه قرار دادند و پیشنهاد‌هایی را برای افزایش تعداد PCM ها در هنگام شارژ باعث افزایش بازدهی قانون دوم ترمودینامیک خواهد شد. از آخرین تحقیقاتی که در این زمینه انجام شده می‌توان به تحقیقات کورین و رشف [۵۵] اشاره کرد آنها تحقیقاتی را در زمینه کاهش آلودگی کارهای اگزاست اتومبیل توسط کاتالیست‌ها انجام دادند، کاتالیست‌ها بایستی گرم باشند تا بتوانند آلاینده‌های هوا را جذب کنند جهت تامین گرمای اولیه کاتالیست‌ها می‌توان از انرژی ذخیره شده در داخل PCM استفاده کرد یعنی در طول مدتی که تومبیل روشن است گرمای مور نیاز توسط آب رادیاتور یا هوای گرم خروجی از موتور به PCM منتقل می‌گردد و از این گرمای ذخیره شده در روز بعد جهت گرم کردن اولیه کاتالیست‌ها استفاده می‌شود. در تحلیل عددی که توسط ویشاک و جیلانی [۵۶] بر روی سیستم ذخیره انرژی نهان در سه هندسه مستطیلی، استوانه­ای و پوسته لوله­ای انجام شد، فرایند انتقال گرما در مواد تغییر فاز دهنده با فرض رسانش مورد بررسی قرار گرفت.
۲-۱۰- تعریف مسئله
مسأله مورد توجه جریانی است با تغییر فاز که هر دو عامل انتقال حرارت، انتقال حرارت رسانشی و انتقال حرارت جابجایی آزاد در آن موثر بوده که البته مهمترین عامل در آن رسانش می باشد. این جریان برای سیال پایه تراکم­ناپذیر آب داخل یک حفره­ی قائم­الزاویه سه بعدی با طول  و عرض w و ارتفاع H در نظر گرفته شده است. دیواره­ های عمودی چپ و راست تکدما و باقی دیواره­ های عایق­اند. دیواره سمت چپ در دمای بالاتر و دیواره سمت راست در دمای پایین­تر از آن قرار دارد. سیال پایه­ نیوتنی فرض شده و تغییرات چگالی به گونه ­ای در نظر گرفته شده است که عامل حرکت را می­توان فقط به تغییرات چگالی نسبت داد. تنها نیروی جسمی وارد بر سیال نیروی ثقلی است و تنها چشمه انرژی حرارتی، دیواره­ها هستند. به عبارت بهتر انتقال حرارت از دیواره­ها، بسیار بزرگ­تر از حرارت ناشی از رفتار ویسکوز جریان است. بنابراین هرگونه اثر حرارتی که از میدان فشار ناشی ­شود، قابل صرف نظرکردن می­باشد.
روند حل عددی جریان و فرضیات بکار گرفته شده به­قرار زیر است. ابتدا جریان کاملا ساکن است و در دمای یکنواخت بین دمای دیواره­ های سرد و گرم است، قرار دارد. سپس با شروع فرایند تغییر فاز جریان ویسکوز و تراکم ناپذیر، انتقال حرارت رسانشی و انتقال حرارت جابجایی آزاد با بهره گرفتن از فرض بوزینسک داخل یک محوطه بسته سه بعدی با حل مسأله مقادیر شرایط اولیه شروع می­ شود. هر شش صفحه حفره صلب و غیر لغزشی فرض می­شوند. به این ترتیب و با بهره گرفتن از فرضیات اشاره شده به حل عددی جریان پرداخته می­ شود. شکل (۲-۱۰) هندسه و شرایط مرزی این حفره را نشان می­دهد.

شکل ۲-۱۰- شکل هندسه مورد نظر

فصل سوم