لگ لگ متمم

پواسون

الگوی لجیت

۲-۴ پروفایل چیست؟
در بسیاری از مسائل کنترل فرایند آماری، کیفیت فرایند یا عملکرد محصول می‏تواند به وسیله توزیع یک مشخصه کیفی توصیف شود و بوسیله نمودارهای کنترل تک متغیره کنترل گردد و یا در حالت کلی به وسیله توزیع چندین مشخصه کیفی توصیف و به وسیله نمودارهای کنترل چند متغیره کنترل شود. گاهی کیفیت محصول یا عملکرد فرایند به وسیله رابطه بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل توصیف می‏شود که محققان این رابطه را پروفایل می‏نامند. در بسیاری از کاربردها همچون کالیبراسیون این رابطه بوسیله یک پروفایل خطی توصیف می‏شود در حالی که در موقعیت های دیگر مدل های پیچیده‏تری نیاز است. لذا توسعه روش هایی برای پایش پروفایل‏ ها که کیفیت محصول یا عملکرد فرایند را توصیف می‏کنند لازم و ضروری است.

۲-۴-۱ انواع مختلف پروفایل ها
۲-۴-۱-۱ پروفایل خطی ساده
در این پروفایل یک رابطه خطی ساده بین متغیر پاسخ و یک متغیر مستقل وجود دارد و این رابطه عملکرد فرایند و کیفیت محصول را نشان می دهد. به دلیل اینکه این رابطه خطی یک رابطه رگرسیونی می باشد مقادیر متغیر مستقل مقادیری ثابت هستند.
(۲-۶)
۲-۴-۱-۲ پروفایل خطی چندگانه
در این پروفایل، یک رابطه خطی چندگانه بین متغیر پاسخ و چند متغیر مستقل وجود دارد. در این پروفایل ها نیز همانند پروفایل های خطی ساده، مقادیر متغیرهای مستقل، مقادیری ثابت هستند. این رابطه به صورت زیر است.
(۲-۷)
۲-۴-۱-۳ پروفایل های چندجمله ای
در این پروفایل، یک رابطه چند جمله ای بین متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل وجود دارد. بالاترین توان متغیر مستقل در این رابطه، رتبه چندجمله ای را تعیین می کند. به عنوان مثال، رابطه زیر یک رابطه چند جمله ای با رتبه ۲ و یک متغیر مستقل و رابطه بعدی یک رابطه چندجمله ای با رتبه ۲ و دو متغیر مستقل است.
(۲-۸)
(۲-۹)
۲-۴-۱-۴ پروفایل غیر خطی
در این پروفایل، یک رابطه غیر خطی بین یک متغیر پاسخ و یک یا چند متغیر مستقل وجود دارد. منظور از رابطه غیر خطی در رگرسیون این است که اگر نسبت به پارامترها مشتق گرفته شود بازهم پارامتر در رابطه باقی بماند. در مدل رگرسیون غیر خطی نیز، مقادیر متغیرهای مستقل مقادیری ثابت هستند. رابطه کلی مدل رگرسیون غیر خطی ساده در زیر نشان داده شده است.
(۲-۱۰)
۲-۴-۲ پروفایل پواسون
در کنترل فرایند آماری، توزیع پواسون مطابق رسوم به منظور مدل کردن تعداد نقص در یک واحد بازرسی مشخص بکار می رود. این تحقیق به بررسی شرایطی می پردازد که ارزش انتظاری متغیر پاسخ از طریق مدل رگرسیون پواسون با مجموعه ای از متغیرهای مستقل قابل توضیح است. مدل رگرسیون پواسون زیرمجموعه ای از مدل های خطی تعمیم یافته است. مایرز و همکاران(۲۰۰۲) مدل رگرسیون پواسون را به صورت زیر بیان کردند:
(۲-۱۱)
به طوریکه بردار ضرایب مدل را نشان می دهد و می باشد. رابطه بالا به صورت زیر قابل بازنویسی است:
(۲-۱۲)
آلبرت و اندرسون (۱۹۸۴) برای تخمین بردار پارامترهای مدل پواسون  ابتدا تابع احتمال را به صورت زیر محاسبه می کنند:
(۲-۱۳)
(۲-۱۴)
با گرفتن لگاریتم از معادله بالا و استفاده از رابطه (۲-۱۲) به رابطه زیر می رسیم:
(۲-۱۵)
کولاگ و نلدر(۱۹۸۹) بیان کردند که با مشتق گرفتن از رابطه بالا نسبت به  و استفاده از روش حداقل مربعات وزنی تکرار شونده پارامترهای رگرسیون پواسون به صورت زیر تخمین زده می شوند:
(۲-۱۶)
به طوریکه  ماتریس  و ماتریس قطری  است و  می باشد. روند تکرار مطابق شکل زیر می باشد.
شکل۲-۳: روند تخمین پارامترهای رگرسیون پواسون (شرفی وهمکاران،۲۰۱۳)
کولاگ و نلدر (۱۹۸۹) ثابت کردند هنگامی که n بزرگ است،  دارای توزیع نرمال p بعدی به صورت  است.
(۲-۱۷)
۲-۴-۳ پروفایل لجستیک
مایرز و همکاران(۲۰۰۲) مدل رگرسیون لجستیک را به صورت زیر بیان کردند:
(۲-۱۸)
به طوریکه بردار ضرایب مدل را نشان می دهد. در رابطه بالا  می باشد. یه و همکاران (۲۰۰۸) برای تخمین بردار پارامترهای مدل لجستیک  فرض کردند که برای i مین وضعیت متغیر پیش بینی مشاهده وجود داشته باشد و راj مین مشاهده در i مین متغیر پیش بینی تعریف کردند پس است. آن ها تابع احتمال را به صورت زیر محاسبه می کنند:
(۲-۱۹)
(۲-۲۰)