رسانندگی الکتریکی ماده
معادله صفحه موجی
تنش برشی

فصل ۱ :
مقدمه
۱-۱ پیشگفتار:
پدیده­­های فیزیکی خیلی زیادی درگیر و وابسته با جابجایی طبیعی هستند. می­توان جریان جابجایی آزاد و انتقال حرارت مربوط به آن را در گستره وسیعی از سیستم­های طبیعی و صنعتی مشاهده کرد. جریان آزاد در هوا٬ مبدل­های حرارتی٬ جمع­کننده­ های انرژی خورشیدی٬ تکنولوژی خشک­کننده­ها٬ تکنولوژی­های فراوری غذا٬ خنک کننده­ های سیستم­های الکترونیکی و خنک کننده­ های راکتورهای هسته­ای مثال­هایی از جریان جابجایی آزاد می­باشند.
تفاوت اساسی جابجایی اجباری و آزاد در آن است که در جابجایی اجباری٬ موتوری که جریان را به حرکت در می ­آورد خارجی است اما در جابجایی آزاد این موتور درون خود جریان است. اختلاف دمای دیواره- سیال باعث ایجاد چرخه طبیعی و یکنواخت در جابجایی طبیعی می­ شود بدین صورت که در مجاورت دیواره گرم بسته­ای از سیال گرم شده و در حین منبسط شدن به سمت بالا حرکت می­ کند. سپس این بسته در مجاورت سیال سرد خنک شده متراکم گردیده و از طرف دیگر به سمت پایین حرکت می­ کند تا دوباره به سطح گرم برسد. این چرخه قابلیت انجام کار دارد یعنی اگر پروانه­ای را وارد جریان کنیم در اثر این جریان به چرخش در می ­آید. این مساله منشا نیروگاه­های بادی است. ولی اگر وسیله­ای برای استفاده از کار چرخه وجود نداشته باشد سیال به سرعت در چرخه به حرکت در آمده و کار بالقوه آن در اصطکاک با اجسام ثابت تلف می­ شود.

هیدرودینامیک مغناطیسی (MHD)¹ شاخه­ای نسبتا جدید ولی مهم از مکانیک سیالات است. از جمله زمینه ­های مهم آن در صنعت می­توان به نقش کاربردی آن در خنک کردن راکتورهای هسته­ای با عدد پرانتل کوچک (مانند نقره با پرانتل ۰٫۰۱ و بیسموت با پرانتل ۰٫۰۲۱ ) نام برد ] ۱و۲[. مگنتو هیدرودینامیک مطالعه جریان سیالی است که هادی جریان الکتریکی بوده و همزمان یک میدان مغناطیسی نیز بر آن اعمال شده است به طوری که نیروی مغناطیسی به وجودآمده در جهت جریان یا خلاف آن است.
________________________
^۱magneto hydrodynamic
۱-۲ مروری بر کارهای گذشته :
در سال ۱۹۸۹ مولیک و یاﺆ ]۳[ جریان جابجایی آزاد را در امتداد یک صفحه موجی شکل عمودی مطالعه کردند و نشان دادند که عدد ناسلت به صورت متناوب در امتداد صفحه تغییر می­ کند. طول موج تغییرات ناسلت دو برابر طول موج صفحه بوده و مقدار عدد ناسلت با افزایش لایه مرزی حرارت در پایین دست جریان کاهش می­یابد.
در سال ۱۹۹۱ بهاوانی و برگلس ]۴[ با روش تداخل­سنج نوری ماخ – زندر مطالعه تجربی بر روی آهنگ انتقال گرمای جابجایی آزاد از روی صفحات سینوسی شکل انجام دادند. آن­ها پارامترهایی مانند نسبت دامنه به طول موج صفحه و زاویه صفحه را تغییر داده و تاثیر آن­ها را بر آهنگ انتقال گرما تجزیه و تحلیل کردند و دریافتند هرچه نسبت دامنه به طول موج صفحه افزایش می­یابد آهنگ انتقال گرما از روی صفحه کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۰۱ چمخا و خالد ]۵[ معادله همبسته جرم و انرژی را برای جریان جابجایی آزاد در امتداد یک ­صفحه مایل تخت به روش تشابهی حل کردند و دریافتند با افزایش شدت مکش میزان عدد ناسلت افزایش و با افزایش شدت مکش عدد ناسلت کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۰۲ بل­کادی و همکاران ]۶[ جریان جابجایی طبیعی درون یک حفره با صفحه موجی شکل مایل را بررسی کردند و نشان دادند با افزایش زاویه صفحه ناسلت متوسط افزایش می­یابد.
در سال ۲۰۰۲ وانگ ]۷[ مساله جریان جابجایی ترکیبی را برای جریان غیر نیوتونی روی یک صفحه مایل موجی مورد بررسی قرار دادند . آن­ها نشان دادند در پرانتل­های بالا اثر موجی شکل صفحه روی ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کمتر می­ شود.
در سال ۲۰۰۴ ملاحسین و یاﺆ ]۸[ اثرتولید داخلی گرما و جذب آن را در امتداد یک صفحه موجی شکل عمودی را به روش تشابهی بررسی کردند.
در سال ۲۰۰۵ وانگ]۹[ جریان ترکیبی را روی یک صفحه مایل موجی شکل در حضور میدان مغناطیسی برررسی کردند. آن­ها به کمک تابع جریان معادلات حاکم را بازنویسی کرده و سپس به روش تفاضل محدود مساله را حل کردند. آن­ها نشان دادند ضریب اصطکاک و عدد ناسلت با افزایش زاویه زیاد می­ شود. همچنین هنگامی که عدد پرانتل افزایش می­یابد نرخ انتقال حرارت افزایش می­یابد ولی ضریب اصطکاک کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۰۶ یاﺆ]۱۰[ به بررسی انتقال حرارت در امتداد یک صفحه عمودی موجی شکل که تغییرات آن حاصل برایند دو موج سینوسی بود پرداخت . نتایج عددی او نشان می­دهد اضافه کردن موج دوم به صفحه باعث می­ شود پروفیل دما و سرعت در نزدیکی صفحه به شدت تغییر کرده و میزان انتقال حرارت کاهش می­یابد. همچنین دریافت نرخ انتقال حرارت به نسبت دامنه و فرکانس موج صفحه بستگی دارد .
در سال ۲۰۰۷ کانداسامی و هاشم ]۱۱[ انتقال حرارت و انتقال جرم را برای جریان جابجایی طبیعی روی صفحه مایل در محیط هیدرومغناطیسی همراه با مکش و دمش به روش تشابهی بررسی کردند. آن­ها نشان دادند با افزایش قدرت مکش لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش می­یابد. همچنین با افزایش پارامتر مغناطیسی لایه مرزی سرعت و حرارت افزایش می­یابد.
در سال ۲۰۰۷ ملا­ مامون و انور حسین ]۱۲[ اثر تشعشع در جریان ترکیبی روی صفحه موجی شکل عمودی و به روش تفاضل محدود بررسی کردند و دریافتند عدد ناسلت با افزایش پارامتر تشعشع R_d زیاد می­ شود. همچنین با افزایش R_d ضخامت لایه مرزی سرعت و گرما ا
فزایش می­یابد.
در سال ۲۰۱۰ شرما و سینگ ]۱۳[ جریان جابجایی طبیعی را در امتداد یک صفحه عمودی هم­دما و در حضور میدان مغناطیسی همراه با رسانندگی الکتریکی متغیر برای سیال با پرانتل خیلی کوچک به روش تشابهی مورد مطالعه قرار دادند. آن­ها نشان دادند سرعت سیال و نرخ انتقال حرارت با افزایش رسانندگی الکتریکی کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۱۱ توحید حسین و ریتا موجومدر ]۱۴[ جریان جابجایی طبیعی را روی یک صفحه تخت افقی متخلخل همراه با دمش و مکش به روش تشابهی بررسی کردند. آن­ها نشان دادند با افزایش قدرت مکش ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش می­یابد . همچنین با افزایش عدد پرانتل ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۱۱ علیم و همکاران ]۱۵[ رسانش گرمایی سیال در لایه مرزی را برای جریان جابجایی طبیعی روی صفحه موجی عمودی همراه با تولید گرما به روش تفاضل محدود بررسی کردند. آن­ها دریافتند ضریب اصطکاک و نرخ انتقال حرارت با افزایش تولید گرمای سطح افزایش می­یابد. به علاوه با افزایش رسانندگی گرمایی سیال در نزدیکی لبه صفحه ضریب اصطکاک محلی و ناسلت محلی افزایش می­یابد اما در پایین دست جریان این نتیجه معکوس می­ شود.
در سال ۲۰۱۲ رضوی و پورحسین ]۱۶[ به بررسی جریان جابجایی طبیعی روی صفحه موج­دار عمودی تک­دما با مدل جدید شار به روش حجم محدود پرداختند. آن­ها نشان دادند با موج­دار کردن صفحه عدد ناسلت متوسط کاهش می­یابد. همچنین با افزایش نسبت طول موج به دامنه عدد ناسلت متوسط افزایش می­یابد.
در سال ۲۰۱۳ کبیر و همکاران ]۱۷[ به برررسی اثر اتلاف ویسکوز در محیط هیدرومغناطیسی برای جریان جابجایی طبیعی روی صفحه عمودی موج­دار به روش تشابهی پرداختند. آن­ها دریافتند با افزایش پارامتر اتلاف ویسکوز لایه مرزی سرعت و حرارت افزایش می­یابد. همچنین ضریب اصطکاک محلی و عدد ناسلت محلی با افزایش پارامتر اتلاف ویسکوز کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۱۳ عبدا… و زقماتی ]۱۸[ به بررسی اثر تشعشع روی صفحه مایل موجی شکل برای جریان جابجایی طبیعی به روش تفاضل محدود پرداختند. آن­ها نشان دادند با افزایش دامنه نوسان صفحه ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت افزایش یافته و میزان انتقال حرارت کاهش می­یابد. همچنین با افزایش زاویه سطح ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش یافته و میزان انتقال حرارت افزایش می­یابد به علاوه با افزایش پارامتر تشعشع R_d ضخامت لایه مرزی حرارت و سرعت کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۱۳ سیدیکا و همکاران ]۱۹[ اثر تشعشع در جریان جابجایی طبیعی برای سیال با پرانتل خیلی کوچک را روی صفحه موجی شکل عمودی به روش تفاضل محدود مورد بررسی قرار دادند و فهمیدند با افزایش پارامتر تشعشع R_d عدد ناسلت متوسط و ضریب اصطکاک متوسط کاهش می­یابد.
در سال ۲۰۱۴ سیدیکا و حسین و ساها ]۲۰[ اثر تشعشع در جریان جابجایی طبیعی برای سیال با پرانتل خیلی کوچک را روی صفحه موجی شکل افقی به روش تفاضل محدود مورد بررسی قرار دادند و فهمیدند نرخ متوسط انتقال حرارت با افزایش دامنه نوسان صفحه کاهش می­یابد. همچنین با افزایش پارامتر تشعشع R_d نرخ متوسط انتقال حرارت و ضریب اصطکاک افزایش می­یابد.
۱-۳ شرح مساله :
جریان سیال ناشی از جابجایی آزاد بر روی یک صفحه موجی شکل و متخلخل در اینجا مورد تجزیه و تحلیل قرار می­گیرد . هندسه مساله در شکل (۱-۱) نمایش داده شده است. صفحه که با محور افقی زاویه می­سازد توسط معادله می­ شود. در این رابطه a دامنه موج٬ L طول صفحه و n فرکانس موج صفحه می­باشند. محورهای و به ترتیب در جهت موازی و عمود بر دیواره می­باشند. سرعت سیال در جهت و سرعت سیال در جهت می­باشد. دیواره در دمای و در مجاورت سیالی با دمای و با عدد پرانتل کوچکتر از واحد ( ) (فلز مایع) قرار دارد. دیواره نفوذپذیر می­باشد . حالت مکش زمانی رخ می­دهد که مقداری از سیال از لایه مرزی به داخل دیواره کشیده شود. در حالت دمش سیال از دیواره به لایه مرزی تزریق می­ شود. نیروهای حجمی موثر بر مساله نیروهای گرانشی و مغناطیسی می­باشند. اندازه میدان مغناطیسی ثابت وجهت آن عمود بر دیواره و به سمت آن است. همچنین جریان الکتریکی ایجاد شده توسط نیرو محرکه الکتریکی عمود بر صفحه کاغذ و به سمت داخل آن است در نتیجه نیروی مغناطیسی اعمال شده بر سیال طبق قانون دست راست در خلاف جهت جریان است. با تعویض قطب­های اختلاف پتانسیل٬ جهت نیروی مغناطیسی معکوس می­ شود . نیروی گرانشی نیز به صورت حجمی ودر راستای عمود بر افق است. در نتیجه مولفه نیروی گرانشی در امتداد صفحه برابر با خواهد بود.
B₀
شکل ۱-۱ : هندسه مساله مورد بررسی
۱-۴ روش تحقیق :
ابتدا معادلات حاکم را برای صفحه موجی شکل نوشته و سپس جهت سهولت در حل مساله به کمک یک تغییر متغیر مناسب صفحه موجی را به صفحه تخت تبدیل می­کنیم. آنگاه طبق روش انتگرالی از معادلات حاکم جدید انتگرال گرفته و جواب انتگرال را به ازای یک پروفیل حدسی مناسب برای سرعت و دما به دست می­آوریم و در نهایت دستگاه معادلات حاکم به دست آمده را به روش رانگ کوتا حل کرده و از آنجا ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت٬ تنش برشی و عدد ناسلت را به دست می­آوریم.

فصل ۲ :
هیدرودینامیک مغناطیسی
۲-۱ تاریخچه­ای ازهیدرودینامیک مغناطیسی:
موضوع هیدرودینامیک مغناطیسی بعد از سال ۱۹۳۰ مطرح شد. هارتمن در سال۱۹۳۷ بر روی جریان فلز مذاب در حال عبور از یک مجرا که بر آن میدا
ن مغناطیسی اعمال می­شد مطالعاتی انجام داد. او همچنین یک تحقیق ﺗﺌوری و آزمایشگاهی را بر روی فلز جیوه در حضور یک میدان مغناطیسی ثابت انجام داد. هارتمن به عنوان پدر علم هیدرودینامیک مغناطیسی در مبحث فلز مذاب شناخته می­ شود . جریان­های هارتمن٬ جریان داخل مجراهایی که در آن­­ها یک میدان مغناطیسی وجود دارد را توصیف می­ کنند. در سال ۱۹۵۰ فیزیک پلاسما به عنوان موضوعی برای فرایندهای گداخت گرمای هسته­ای کنترل شده در راکتورهای هسته­ای در مباحث مربوط به هیدرودینامیک مغناطیسی مطرح گردید. در همین سال­ها نظریه معروف به امواج آلفون اراﺋﻪ شد که ارتباط بین هیدرودینامیک مغناطیسی و علوم نجومی را مطرح می­­کند.
انگیزه­هایی که می­توان از آن به عنوان یک عامل محرک برای پیشرفت این تکنولوژی نام برد به اختصار به شرح زیر است:
۱- راکتورهای زاینده: در این راکتورها از سدیم مذاب به عنوان یک سیال خنک­کننده استفاده می­ شود و لازم است این سیال پمپ شود که این کار با بهره گرفتن از پمپ­های هیدرودینامیک مغناطیسی صورت می­پذیرد.