بنابراین براساس آزمون جانسن فرض صفر رد می شود اگر بزرگتر از چندک - ام توزیع با درجات آزادی و باشد.
۳-۲- آزمون متغیر تعمیم یافته ( The Generalized Variable Test )
دومین آزمون تقریبی برای فرض در مقابل آزمون متغیر تعمیم یافته است که در این بخش به معرفی این آزمون میپردازیم.
متیو، گامیج و ویراهاندی در سال ۲۰۰۴ آزمونی را پیشنهاد کرد که به اختصار با نماد GV نشان میدهیم و براساس مفهوم p- مقدار تعمیم یافته، که توسط تیسو (Tsui) و ویراهاندی در سال ۱۹۸۹ معرفی شده، میباشد.
۳-۲-۱-p - مقدار تعمیم یافته یک متغیره
در این قسمت p- مقدار تعمیم یافته یک متغیره و شرایط مربوط به آماره آزمون را مورد بررسی قرار میدهیم. ( Gamage, Mathew, Weerahandi, 2004, p.177-189 )
فرض کنید یک متغیر تصادفی از توزیعی با پارامترهای باشد به گونه ای که پارامتر مورد علاقه و پارامتر مزاحم میباشد. (پارامتر مزاحم پارامتری است که در توزیع متغیر وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نیست.)
فرض کنید علاقهمند به آزمون در مقابل هستیم به گونه ای که مقداری مشخص و معلوم میباشد. همچنین فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغیر باشد. آماره تعمیم یافته که یک کمیت تصادفی است و به مقدار مشاهده شده و پارامترها بستگی دارد را به همراه شرایط زیر در نظر بگیرید:
توزیع آماره به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.
مقدار مشاهده شده یعنی به پارامتر مزاحم بستگی نداشته باشد.
به ازای و ثابت، نسبت به غیر نزولی باشد. (۳-۲-۱)
براساس شرایط فوق p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می شود:
به گونه ای که است.
۳-۲-۲-p - مقدار تعمیم یافته برای مسئله بهرنز فیشر چند متغیره
در این قسمت به معرفی p- مقدار تعمیم یافته برای مسئله بهرنز فیشر چند متغیره با توجه به مطالب گفته شده در قسمت قبل میپردازیم. ( Gamage, Mathew, Weerahandi, 2004, p.177-189 )
فرض کنید دارای توزیع و دارای توزیع و مستقل از یکدیگر باشند. همچنین فرض کنید و نشان دهنده بردارهای میانگین نمونه ای با مقادیر مشاهده شده و و و نشان دهنده ماتریسهای کوواریانس نمونه ای با مقادیر مشاهده شده و باشند به گونه ای که
عبارات زیر را در نظر بگیرید:
,
براساس روابط فوق
آزمون در مقابل را میتوان به صورت در مقابل بیان کرد.
فرض کنید ، ، و نشان دهنده مقادیر مشاهده شده ، ، و باشند. تحت فرض داریم:
بنابراین
.
اگر باشد، آنگاه
.
آماره را به صورت زیر تعریف میکنیم:
.
حال شرایط ( ۳-۲-۱ ) را برای آماره بررسی میکنیم:
با توجه به و تعریف شده به صورت فوق، را میتوان بفرم درجه دوم براساس نوشت. همچنین با توجه به اینکه تحت فرض صفر توزیع ، و به پارامتر مجهول بستگی ندارد و مستقل از یکدیگرند، بنابراین توزیع تحت فرض صفر نیز به پارامتر مجهول بستگی ندارد.
با توجه به تعریف ، و مقدار مشاهده شده به صورت زیر میباشد:
بنابراین به پارامتر مجهول بستگی ندارد.
با توجه به اینکه تابعی ثابت نسبت به است، بنابراین نسبت به تابعی غیر نزولی است.
در نتیجه میتوان را به عنوان آماره آزمون متغیر تعمیم یافته در نظر گرفت و p- مقدار تعمیم یافته را به صورت زیر تعریف کرد:
.
۳-۲-۳- آزمون متغیر تعمیم یافته
در این قسمت با توجه به p- مقدار معرفی شده در قسمت های قبل به بررسی آزمون متغیر تعمیم یافته میپردازیم.
فرض کنید مقدار مشاهده شده باشد. همچنین فرض کنید به صورت زیر تعریف شده باشد:
(۳-۲-۲)
برای داده شده، ها از هم مستقل هستند و با توجه به اینکه
توزیع دارد.
آماره آزمون متغیر تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۲-۳)
با توجه به رابطه ( ۱-۳-۳ ) تحت فرض برابری بردارهای میانگین توزیع کای اسکور با درجه آزادی دارد.
حال ۳ شرط ( ۳-۲-۱ ) را برای آماره بررسی میکنیم:
با توجه به اینکه صورت آماره تحت فرض صفر توزیع کای اسکور با درجه آزادی و همچنین در مخرج توزیع دارند، این نتیجه را میتوان گرفت که توزیع آماره به پارامتر مجهول بستگی ندارد.
