مین وانگ و همکاران[۶۳] (۲۰۱۱) پوشش تورمی کوتاه‌مدت و بلندمدت طلا را در آمریکا، ژاپن در دوره ۱۹۷۱ تا ۲۰۱۰ بررسی کردند. نتایج کار آن ها نشان داد که طلا پوشش مناسب تورم در آمریکا می‌باشد اما به دلیل انعطاف ناپذیری قیمتها در ژاپن پوشش مناسبی نیست.
مطالعات داخلی
پیرایی و شهسوار (۱۳۸۱) در مطالعه‌ای رابطه‌ی تجربی بین نرخ ارز و تورم را در ایران مورد بررسی قرار داد. نتایج معادلات همزمان آن‌ها نشان داد که نرخ ارز بازار آزاد بر تورم اثر مثبت داشته است و تورم حاصل از کالاهای وارداتی نیز بر نرخ ارز اثر مثبت دارد اما تورم داخلی فقط در سال‌هایی که مقدار آن بالاست بر نرخ ارز اثرگذار است.
یحیی‌زاده‌فر و جعفری صمیمی (۱۳۸۱)، در مقاله‌ی «بررسی رابطه‌ی تورم و بازده واقعی سهام در ایران یک تحلیل تجربی»، رابطه‌ی بین تورم و بازده واقعی سهام را در ایران به طور ماهانه، فصلی و سالانه از دیدگاه تجربی به دو روش غیر مستقیم و اثر مستقیم مورد بررسی قرار دادند. در روش غیرمستقیم (اثر زنجیره‌ای)، فرضیه رابطه‌ی تورم و بازده واقعی سهام به طور غیر مستقیم از طریق تأثیر تورم بر متغیرهای واقعی اقتصاد از یک طرف و تأثیر متغیرهای واقعی اقتصاد بر بازده واقعی سهام از طرف دیگر مورد بررسی قرار می‌گیرد و در نتیجه رابطه‌ی تورم و بازده واقعی سهام مشخص می‌گردد. نتایج این تحقیق نشان داد که رابطه‌ی تورم و بازده واقعی سهام به روش غیرمستقیم و داده‌های فصلی، از نظر آماری معنی‌دار نبوده است، اما به روش مستقیم به طور ماهانه، فصلی و سالانه، رابطه‌ی این دو متغیر مثبت می‌باشد و سهام به عنوان پوشش تورم عمل نموده است.
سینایی (۱۳۸۱) به بررسی همبستگی شاخص بهای عمده‌فروشی کالاها و شاخص قیمت سهام صنایع هیجده‌گانه در دوره‌ی زمانی ۱۳۷۷-۱۳۶۹ پرداخت که یافته‌های تحقیق او نشان داد که بین شاخص بهای عمده فروشی کالاها و شاخص قیمت کل سهام همبستگی مثبت و مستقیم وجود دارد ولی از شدت زیادی برخوردار نیست. علی‌رغم افزایش قیمت سهام با رشدی بیش از نرخ تورم در دوره‌ی مورد بررسی، اثر تورم در تغییرات قیمت سهام شرکت‌ها قابل ملاحظه نیست؛ به عبارت دیگر تورم تأثیر عمده‌ای در تعیین قیمت سهام شرکت‌ای پذیرفته شده در بورس تهران ندارد.
عزیزی (۱۳۸۳) در مقاله‌ی «آزمون تجربی رابطه‌ی تورم و بازده سهام در بورس اوراق بهادار تهران»، در بازده زمانی ۱۳۸۲-۱۳۷۷ رابطه‌ی بین تورم و بازده سهام را با به کارگیری روش‌های VAR و علیت گرنجری به طور تجربی بررسی کرد و نتایج به دست آمده را با سایر تحقیقات مورد مقایسه و همسنجی قرار داد. یافته‌های تحقیق او حاکی از این بود که تورم توضیح‌دهنده‌ی شاخص بازده نقدی و بازده کل (قیمت و نقدی) است، اما شاخص قیمت سهام را توضیح نمی‌دهد.
کریم‌زاده (۱۳۸۵) در مقاله‌ی «بررسی رابطه‌ی بلندمدت شاخص قیمت سهام بورس با متغیرهای کلان پولی با بهره گرفتن از روش همجمعی در اقتصاد ایران» در دوره‌ی زمانی (۱۳۶۹:۱-۱۳۸۱:۱۲)، با بهره گرفتن از نظریه‌ی پورتفولیو و نظریه اساسی فیشر به بررسی رابطه‌ی بلندمدت شاخص قیمت سهام با متغیرهای کلان پولی (نقدینگی، نرخ ارز حقیقی و نرخ سود واقعی بانکی) پرداخته است. به منظور برآورد مدل تصریح شده، او از روش خودرگرسیون برداری با وقفه‌های توزیعی (ARDL) استفاده کرد و نتیجه گرفت که شاخص قیمت سهام بورس با نقدینگی رابطه‌ی مثبت دارد و ارتباط این شاخص با نرخ ارز حقیقی و نرخ سود واقعی بانکی منفی است.
شریعت‌پناهی و بیاتی (۱۳۸۵) در بررسی رابطه تورم و شاخص قیمت سهام و شاخص بازده نقدی قیمت سهام بورس اوراق بهادار تهران، به دنبال جواب این سوال مهم بودند که آیا سرمایهگذاری در بورس اوراق بهادار می‌تواند به عنوان پوشش تورم عمل کند یا خیر. برای این منظور از داده‌های ماهانه‌ی سال ۱۳۶۹ تا ۱۳۸۳ استفاده کردند که تجزیه و تحلیل داده‌های آن‌ها نشان داد که سرمایهگذاری در بورس اوراق بهادار تهران نمیتواند پوشش مناسبی در برابر تورم باشد، به عبارتی سرمایهگذاری در بورس اوراق بهادار تهران نمیتواند حداقل بازدهی معادل نرخ تورم نصیب سرمایه‌گذاران کند.
سعیدی و امیری (۱۳۸۷) در مقاله‌ای تأثیر تورم بر قیمت سهام شرکت‌های پذیرفته شده در بورس اوراق بهادار تهران در دوره‌ی زمانی ۷ ساله (۱۳۸۶-۱۳۸۰) با بهره گرفتن از مدل‌های آزمون کولموگروف-اسمیرنوف، آزمون F ، مدل رگرسیون خطی و مدل همبستگی پیرسون را بررسی کردند. نتایج آن‌ها مبین این بود که تورم، با قیمت سهام و شاخص قیمت سهام شرکت‌ای پذیرفته شده در بورس اوراق بهادار تهران، رابطه‌ی معنی‌دار و معکوس و با شاخص کل قیمت بورس تهران، رابطه‌ی معنی‌دار و مستقیم دارد.
پاشاییفام و امیدیپور (۱۳۸۸)، در مطالعه‌ای تأثیر نرخ تورم را بر بازده واقعی سهام در اقتصاد ایران با بهره گرفتن از داده‌های فصلی ۸۵-۱۳۶۹ بررسی کردند. آن‌ها علاوه بر بررسی رابطه‌ی تعادلی بین متغیرهای اصلی مدل، نرخ تورم و بازده واقعی سهام، رابطه‌ی تعادلی بین متغیرهای توضیحی دیگر مدل (نرخ ارز، نوسانات قیمت نفت و قیمت نفت) با متغیر وابسته (بازده واقعی سهام) نیز مورد سنجش قرار گرفت. بر اساس نتایج به دست آمده از روش‌های خودرگرسیون برداری (VAR) و الگوی تصحیح خطای برداری (VECM)، آن‌ها نتیجه گرفتند که دو متغیر نرخ ارز و نرخ تورم در بلندمدت تأثیر منفی بر بازده واقعی سهام از خود نشان می‌دهند، در صورتی که تأثیر متغیرهای نوسان قیمت نفت و قیمت نفت به ترتیب در کوتاه‌مدت و بلندمدت بر بازده واقعی سهام مثبت بوده است.
مشیری و همکاران (۱۳۸۹) یک مطالعه تجربی برای بررسی رابطه‌ی بین بازده شاخص سهام و نرخ تورم با بهره گرفتن از روش چند مقیاسی موجک[۶۴] در بورس اوراق بهادار تهران انجام دادند. روش چندمقیاسی امکان بررسی رابطه‌ی یاد شده را در مقیاس‌های زمانی متفاوت فراهم می‌کند. نتایج رگرسیون در محدوه‌ی موجک و همبستگی موجک نشان می‌دهد که رابطه‌ی بین تورم و بازده سهام در افق کوتاه‌مدت، منفی و در افق میان‌مدت و بلندمدت مثبت است. یافته‌های آن‌ها از فرضیه‌ی فیشر حمایت قوی کرده است.
قلی‌زاده و کمیاب (۱۳۸۹) در مقاله‌ای ارتباط بلندمدت بازار مسکن و تورم را در ایران مورد بررسی قرار دادند. در این مطالعه آن‌ها از مدل‌های OLS و آزمون‌های هم‌انباشتگی و علیت گرنجر استفاده کردند. هدف آن‌ها این بود که ضمن تحلیل اثر کلی تورم بر بخش مسکن، اثرات تورم انتظاری و غیرانتظاری را به تفکیک تجزیه و تحلیل و بررسی کنند. نتایج نشان داد که تورم تأثیر مثبت و معنی‌داری بر اجاره واقعی مسکونی دارد و دارای کشش بالایی است. همچنین تأثیر تورم انتظاری بر اجاره مسکن بیشتر از تورم غیرانتظاری بوده است. همچنین آزمون‌های هم‌انباشتگی ارتباط بلندمدت میان این متغیرها را تأیید می‌کنند. نتایج آزمون علیت گرنجر نیز نشان داد که علیت یک طرفه‌ای از سوی انتظارات تورمی به اجاره واقعی مسکن وجود دارد.
عزیزی و همکاران (۱۳۹۱) در مقاله‌ی «بررسی رابطه‌ی تورم و بازده سهام بورس اوراق بهادار تهران: ارزیابی فرضیه جانشینی فاما»، با بهره گرفتن از داده‌های بورس اوراق بهادار تهران در دوره‌ی زمانی فروردین ۱۳۷۰ تا اسفند ۱۳۸۷ به بررسی رابطه‌ی نرخ تورم و بازده سهام پرداختند. آن ها نشان دادند که فرضیه‌ی فیشر در کوتاه‌مدت رد شده و بازار سهام تهران، سپر ضعیفی در مقابل تورم بوده است. در ادامه با بهره گرفتن از فرضیه فاما نتیجه گرفتند که رابطه‌ی منفی بین دو متغیر در کوتاه مدت ناشی از جزء موقت تورم بوده و نشأت گرفته از شوک‌های سمت تقاضای کل اقتصاد است. برای این کار آن‌ها با بکارگیری فیلتر هدریک- پرسکات تورم را به دو جزء دائمی و موقت تجزیه کردند. تخمین رابطه‌ی بلندمدت میان دو متغیر حاکی از آن است که بورس تهران در بلندمدت پوشش کاملی در مقابل تورم است.
ابونوری و همکاران (۱۳۹۲) به بررسی رابطه‌ی بین نرخ تورم و شاخص بازدهی بورس در اوراق بهادار تهران به کمک مدل روش هم‌انباشتگی پنهان (CECM) و مبتنی بر داده‌های سری‌زمانی ماهانه طی دوره‌ی زمانی ۱۳۹۰-۱۳۸۳ پرداختند. در مدل به کار گرفته‌ی آن‌ها علاوه بر تجزیه و تحلیل غیرخطی روابط بلندمدت میان متغیرها، از قابلیت دیگری مبنی بر مدل‌سازی عدم تقارن موجود میان متغیرهای مختلف به‌ویژه متغیرهای مالی، برخوردار می‌باشد. نتایج پژوهش آن ها مؤید وجود ارتباط نامتقارن میان متغیرهای مذکور بوده به طوری که، تنها اجزای (تکانه‌های) منفی شاخص بورس و تورم با یکدیگر رابطه‌ی بلندمدت داشته و اجزاء مثبت آن‌ها با یکدیگر ارتباط معناداری نداشته‌اند.
جمع‌بندی
در این فصل ابتدا فرضیه‌ی فیشر که مبدأ پیدایش بحث پوشش تورم بود، مطرح شد. به این ترتیب که او معتقد بود نرخ بهره اسمی انتظاری باید یک به یک با تورم انتظاری تغییر کند و این ویژگی برای سایر دارایی‌ها نیز قابل بررسی است. در ادامه مطالعاتی به توضیح رابطه‌ی منفی بین بازده دارایی و تورم پرداختند. فاما فرضیه جانشینی را مطرح کرد که نشان داد رابطه‌ی مثبت بین بازده سهام و متغیرهای واقعی، به عنوان عامل اساسی تعیین کننده ارزش خالص دارایی‌ها و رابطه‌ی منفی بین تورم و فعالیت حقیقی باعث به وجود آمدن رابطه‌ی جعلی در این رابطه است. مودیگلیانی و کان فرضیه توهم تورمی که معتقد بود سرمایه‌گذاران بازار سرمایه، در معرض توهم تورمی هستند، را مطرح کرد. فلدشتاین و جسکه و رُل معتقد بودند که تأثیر منفی تورم بر بازده سهام بر مبنای ویژگی‌های بنیادی قانون مالیاتی و کاهش هزینه تاریخی و مالیات‌بندی عواید اسمی سرمایه است. مارشال و دانته و دونالسون نیز نتیجه گرفتند که هر گاه منشأ تورم به عوامل غیر پولی (تولید واقعی) مربوط باشد، این رابطه منفی می‌شود. در ادامه در ارتباط با پوشش تورم، نظریه پرتفوی و انتخاب سبد دارایی مناسب در شرایط تورمی بررسی شد.
همچنین در این فصل مطالعات انجام گرفته در زمینه پوشش تورم دارایی‌ها در داخل و خارج و با انواع دارایی معرفی شد. با توجه به نتایج تحقیقات معرفی شده در این فصل، نتایج بررسی رابطه‌ی بین بازده دارایی‌ها و نرخ تورم متفاوت است. در برخی از مطالعات رابطه‌ی مثبت و در برخی دیگر رابطه‌ی منفی مشخص شده است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که به رغم تحقیقات گسترده در کشورهای مختلف اعم از توسعه یافته و در حال توسعه، تاکنون درباره‌ی رابطه‌ی بین بازده دارایی و تورم اجماع نظری وجود ندارد و بررسی پوشش تورم دارایی‌ها در هر کشور و هر دوره‌ی زمانی دارای اهمیت است.
فصل سوم
روش تحقیق
مقدمه
از آنجایی‌که روش الگوسازی‌ای که به منظور بررسی قابلیت پوشش دارایی‌ها در مقابل تورم و تورم انتظاری به کار گرفته می‌شود، الگوهای خودتوضیح برداری است؛ در این فصل به معرفی مراحل انجام این الگو پرداخته خواهد شد. هدف از بهره‌‌گیری از این الگو، تفکیک روابط بلندمدت و کوتاه‌مدت بین متغیرها مورد استفاده است. بر این اساس ابتدا آزمون ریشه واحد فصلی، با توجه به فصلی بودن داده‌های مورد استفاده، معرفی می‌شود. سپس چگونگی تعیین وقفه بهینه الگوی VAR و توابع عکس‌العمل آنی و تجزیه واریانس خطای پیش‌بینی به عنوان دو جزء الگوهای خودتوضیح برداری برای بررسی پویایی‌ها کوتاه‌مدت توضیح داده می‌شود. در ادامه برای بررسی روابط بلندمدت بین متغیرها آزمون یوهانسون مطرح و چگونگی تعیین تعداد بردارها و نوع الگوی مورد استفاده در برآورد بردارها توسط این آزمون بررسی می‌شود. در انتهای این فصل با توجه به وجود تورم انتظاری در مدل، روش محاسبه آن بررسی خواهد شد.
الگوی خودتوضیح برداری[۶۵]
هنگامی که رفتار چند متغیر سری زمانی در یک الگو مورد بررسی قرار می‌گیرد، لازم است ارتباط متقابل بین آن‌ها را مورد توجه قرار داد. یکی از راه‌ها برای انجام این کار، تنظیم و برآورد یک الگوی معادلات همزمان است. پیش از برآورد الگوی معادلات همزمان، لازم است دو گام برداشته شود؛ یکی این‌که باید متغیرهای الگو را به دو دسته درونزا و برون‌زا طبقه‌بندی کرد و دیگر این‌که باید قیدهایی بر ضرایب متغیرهای الگو اعمال شود تا به شناسایی الگو دست یافت. چنین تصمیمی، که به طور معمول به صورت اختیاری توسط محقق گرفته می‌شود، به شدت از سوی سیمز[۶۶] (۱۹۸۰) مورد انتقاد واقع شد. مبنای انتقاد سیمز این است که اگر تمام متغیرها همزمان باشند، همه از یکدیگر تأثیر می‌پذیرند و پیش داوری در مورد تمایز متغیر درونزا و برون‌زا نباید قائل شد، چون تقدم زمانی بین متغیرها که مبنای تعریف علیت از نظر گرنجر است وجود نخواهد داشت. بنابراین وی چارچوب جدیدی را با عنوان الگوی خودتوضیح برداری (VAR) معرفی کرد. الگوهای VAR، بر اساس روابط تجربی که بین نهاده‌ها نهفته است پایه‌گذاری شده و به صورت فرم خلاصه شده سیستم معادلات همزمان مد نظر قرار می‌گیرد که هر یک از متغیرهای درونزا روی وقفه‌های خود و وقفه‌های متغیرهای دیگر در سیستم برازش می‌شود. از این‌رو، در این الگوها نیازی به تصریح روابط ساختاری کوتاه‌مدت یا دانش ساختاری از روابط علّی بین متغیرهای الگو وجود ندارد. بر این اساس، اگر فرض شود روابط همزمانی بین متغیرهای مدل وجود دارد که هر یک در توضیح رفتار دیگری مؤثرند، آنگاه این روابط از طریق الگوی VAR قابل بیان است. در واقع، در این الگو بازخوردی در نظر گرفته می‌شود که ممکن است بین متغیرها وجود داشته باشد. در این مدل با روش حداقل مربعات معمولی برای هر معادله تخمین جداگانه زده می‌شود. البته با وقفه‌های متعدد یک متغیر معلوم، ضرایب به تنهایی به‌علت هم‌خطی معنی‌دار نخواهد بود، ولی باید معنی‌داری کلی معادله یا آزمون F در نظر گرفته شود. با توجه به درونزا بودن تمام متغیرها ارتباطات متقابل آن‌ها توسط سیستم معادلات همزمان صورت می‌گیرد . البته می‌توان متغیرهایی برون‌زایی مثل جمله ثابت و روند زمانی یا متغیرهای موهومی و یا متغیرهای سیاستی را معرفی کرد.
به منظور تخمین مدل‌های VAR ابتدا باید ایستایی متغیرها بررسی و تعداد وقفه‌های بهینه مدل نیز تعیین شود. در خصوص اهمیت ایستایی متغیرها می‌توان گفت که اگر متغیرها ایستا باشند، در آن صورت استفاده از یک مدل VAR ساده مناسب خواهد بود. ولی اگر متغیرها غیر ایستا باشند، ممکن است مشکل رگرسیون ساختگی پیش بیاید که بیانگر آن است که رابطه بین متغیرها ناشی از وجود داشتن متغیر زمان است، نه به واسطه ارتباط حقیقی آن‌ها. در این شرایط باید از یک مدل VAR نامقید با متغیرهای تفاضل‌گیری شده استفاده کرد که در این صورت، اطلاعات بلندمدت بین متغیرهای مدل از بین می‌رود و باعث کاهش کارایی تحقیق با نمونه‌های محدود می‌شود. اما در صورتی که متغیرها هم‌انباشته باشند، چنین مشکلی پیش نخواهد آمد. هم‌انباشتگی بدین معناست که علی‌رغم این‌که سری‌های زمانی به تنهایی غیرایستا هستند، ولی ترکیب خطی آن‌ها می‌تواند ساکن باشد و یک رابطه تعادلی بلندمدت بین آن‌ها وجود دارد.
معمولاً آن‌چه که به عنوان مدل‌های VAR معروف شده است، فرم استاندارد (حل شده) VAR است که طبق آن، مقادیر جاری یک متغیر بر حسب مقادیر گذشاه‌ی آن متغیر و سایر متغیرها نوشته می‌شود:
| ۳-۱ |
که چون دارای p وقفه است، آن را در اصطلاح الگوی VAR از مرتبه p می‌نامند و به صورت VAR(p) نمایش می‌دهند. که در آن برداری با ابعاد (k×۱) شامل متغیرهای درون‌زای الگو، بردار (k×۱) شامل مقادیر ثابت، ماتریسی (k×k) شامل ضرایب وقفه‌های متغیرهای الگو و در نهایت برداری (k×۱) شامل جملات اخلال است.
روش خود رگرسیون برداری (VAR)، نسبت به سایر روش‌های ممکن دارای ویژگی‌هایی است که استفاده از آن را توجیه‌پذیر می‌سازد. در این روش نیازی به نگرانی درباره تعیین درونزا و برون‌زا بودن متغیّرها نیست، زیرا تمامی متغیّرها در این مدل درونزا هستند. چنین مدل‌هایی به سادگی ساخته شده و در استفاده از آن‌ها نیازی به اطلاعات قبلی در خصوص روابط علّی میان متغیرها وجود ندارد، این رهیافت برای اقتصاد کلان کشورهای جهان سوم که فاقد نظریه‌های اقتصادی منسجم می‌باشند بسیار مفید است و به این وسیله می‌توان متغیرهای کلیدی را در آن اقتصاد خاص، شناخته و نظریه به دست آمده در مورد آن اقتصاد را توسعه داد. بنابراین، این مدل در مواردی که تئوری اقتصادی توضیح کاملی از مدل ندهد یا مدل بسیار پیچیده باشد یا توافقی بر تئوری درست، نباشد، استفاده می‌شود. به علاوه در بسیاری از موارد که پیش‌بینی یک سری زمانی با بهره گرفتن از مدل ساختاری غیرممکن یا دشوار است، الگوهای خودتوضیح برداری با بهره گرفتن از ساختار پویای داده‌ها، در تجزیه و تحلیل روابط پویای متغیرها نتایج بهتری ارائه می‌دهند. کاربرد مفید دیگر سیستم‌های خودرگرسیون برداری مطالعه زمان‌بندی شوک‌های اقتصادی است. اگر سیستم، نمایش واقعی اقتصاد باشد می‌توان دریافت که شوک‌های وارده بر اقتصاد در چه مدت زمانی به طول می‌آنجامد. حداکثر آثار آن‌ها در چه دوره زمانی پس از وقوع شوک حاصل می‌گردد. مطالعه این شوک‌ها و این زمان‌بندی آن‌ها روشی برای شناسایی پویایی اقتصاد است، زیرا در هر اقتصاد متناسب با خصوصیات خاص آن، شوک‌های یکسان آثار متفاوتی بر جا می‌گذارند و مطالعه شوک‌ها و دوره‌های زمانی متتناظر با آن‌ها می‌تواند سیاست‌گذاران را در طریق اثرگذاری بر کل سیستم اقتصادی یاری دهد. تجزیه واریانس متغیرهای اقتصادی طی زمان نیز از مزایای دیگر این روش است که نشان می‌دهد هر متغیر کلیدی اقتصاد تا چه حد در تغییرات متغیر دیگر سهیم است (شیرین‌بخش، ۱۳۸۴ و نوفرستی، ۱۳۷۸). با وجود مزیت‌های مطرح شده الگوی VAR معایبی نیز دارد. این الگو بر خلاف معادلات ساختاری، فاقد مبانی نظری اقتصادی است. یکی دیگر از مشکلات این الگوها حساسیت تعیین تعداد وقفه متغیر در الگوست که نتایج را به شدت تحت تأثیر قرار می‌دهد و می‌بایست به درستی و با دقت صورت گیرد. مسئله اساسی دیگر زیاد بودن تعداد پارامترهاست که در این صورت اگر تعداد مشاهدات زیاد نباشد درجه آزادی کاهش می‌یابد.
آزمون ریشه واحد فصلی
به منظور برآورد الگو خودتوضیح برداری، در گام نخست باید ایستایی سری زمانی را مورد بررسی قرار داد. ایستایی به مفهوم ثابت بودن مقادیر میانگین، واریانس و خودهمبستگی سری زمانی در طول زمان است. به منظور آزمون ایستایی سری زمانی، وجود یا عدم وجود ریشه واحد بررسی می‌شود. به طور معمول در روش‌های سنتی مدل سازی پدیده‌های فصلی در ادبیات سری‌های زمانی، نوسان‌های فصلی به عنوان یک پدیده مزاحم که دیگر اجزای سری زمانی را مبهم و نامفهوم می‌سازد، تلقی شده و حذف مؤلفه فصلی از سری زمانی با بهره گرفتن از روش‌های تعدیل فصلی صورت می‌گرفته است. در سال‌های اخیر نظریه‌های جدیدی مطرح شده که نشان می‌دهند، این مؤلفه نه تنها یک پدیده مزاحم نیست بلکه یک بخش درونی داده‌های اقتصادی است و نبایستی در تجزیه و تحلیل سری‌های زمانی نادیده گرفته شود. لذا پیشنهاد می‌شود پیش از مدل‌سازی داده‌های سری زمانی فصلی، ماهیت مؤلفه فصلی با بهره گرفتن از آزمون‌های ریشه واحد فصلی شناسایی گردد. داده‌های فصلی ممکن است علاوه بر ریشه واحد معمولی (غیرفصلی) ممکن است دارای ریشه واحد فصلی نیز باشند. به منظور انجام آزمون ایستایی برای سری زمانی دارای رفتار فصلی و غیرفصلی، آزمون مورد استفاده باید در بردارنده اجزاء فصلی و غیرفصلی باشند.
تشخیص ریشه‌های واحد، ابتدا در داده‌های سالانه (یا به اصطلاح در داده‌های با فراوانی صفر) با آزمون‌های ریشه واحد دیکی و فولر (١٩٧٩) و آزمون دیکی فولر تعمیم‌یافته (ADF) شروع شد. بسط و گسترش روش‌شناسی به‌دست آمده برای ملاحظه‌ی تناوب‌های فصلی در دو مرحله اتفاق افتاده است. نخست، محققان کاربرد این روش را برای داده‌های فصلی (سه ماهه) یعنی سه تناوب اضافی دیگر را بررسی کردند. سپس، داده‌های فصلی (ماهیانه) که دارای یازده تناوب فصلی اضافه بر ریشه واحد مرسوم است را مورد ملاحظه قرار دادند. هیلبرگ و همکاران[۶۷] در سال ۱۹۹۰ آزمون آماری‌ای را با بسط معادله تعمیم یافته دیکی و فولر پیشنهاد کردند که برای نخستین بار از آن برای داده‌های فصلی سه ماهه استفاده شد. این آزمون می‌توانست ریشه‌های واحد فصلی و غیر فصلی را به طور جداگانه در فراوانی های مختلف به صورت زیر تعیین کند.
اگر دارای ریشه واحد فصلی باشد آنگاه از یک فرایند گام تصادفی تبعیت خواهد کرد. برای بررسی ریشه واحد سری‌های زمانی از فرایند AR(1) استفاده می‌شود. در اینجا نیز برای آزمون ریشه واحد از یک فرایند AR فصلی استفاده می‌شود که عبارت است از (برای سادگی به جای از استفاده شده است):
| ۳-۲ |
اما را می‌توان به صورت زیر نوشت:
